有趣的二進制

優秀應用算法都大量用到位運算，而位運算在工做中不多用到，因此藉助其算法，咱們看一下位運算的優點以及應用，可是大多數教材只會教你們二進制和十進制如何互換，都是死記硬背式的，並無去講解真正含義，換一個進制以後,依然不會，咱們回到最根本的一些計數方法上，從10進制來推算，但願用一種更簡單的方式介紹其原理。

1、應用引入

咱們來看下protobuf 中的Varint算法，這個算法的目的是爲了令一個整型佔用更少的字節，好比小於127的數字，只需佔用一個字節便可，小於16384的數字，採用2個字節便可。算法以下：

while (true) {
  if ((value & ~0x7F) == 0) {
    buffer[position++] = (byte) value;
    return;
  } else {
    buffer[position++] = (byte) ((value & 0x7F) | 0x80);
    value >>>= 7;
  }
}複製代碼

咱們來看看具體圖例:

咱們看到在小於2097153期間，佔用空間會小於4個字節，這個優點還比較明顯，不過也有弊端，好比超過268435456以後會有佔用5個字節，考慮到大多數狀況下，並不會應用到這麼大的數字，優化空間方面仍是不錯的。

經過上述算法實現，我發現優秀的應用算法都會大量用到了位運算，而位運算在工做中卻不多用到。位運算速度要快於整數運算的，特別是整數乘法，須要10個或者更多個時鐘，若果採用移位操做一個或者2個時鐘就夠了，不過因爲咱們常採用十進制來進行算術運算，對二進制的位運算不夠熟悉，閱讀起來會比較耗費精力，因此藉助上述算法實現，咱們分析一下位運算的優點以及應用，從而更好的理解二進制。上述代碼中，有運用到移位操做，位運算，字節序等相關知識點，咱們一一分析。

2、進位制

咱們知道，計算機的存儲和處理的信息都是以二進制的，雖然在編寫程序的期間數運算仍是採用10進製表示，但到機器執行的時候，還會以2進制來進行處理。對於有10個指頭的人來講，熟知10進制是很天然的事情，你看教小孩子數學的時候，都是先從數指頭開始的，那麼如果咱們只有2個指頭，是否是咱們如今會更好理解二進制了？

一、其餘進制轉換10進制

大多數教材會教你們二進制和十進制如何互換，但多數說都是死記硬背式的，並無去講解真正含義，換一個進制以後,依然不會，咱們回到最根本的一些計數方法上，從10進制來推算。好比咱們看一個數字1001，採用十進制表示是:1x10^3+0*10^2+0*10^1+1*10^0。首先從右往左，咱們能夠當作是從低位到高位，每高一位，指數+1，其次10進制是以10爲底數，其三這個公式是採用10進制算術進行計算的（用什麼進制算出答案就至關於把當前進制轉換爲了什麼進制了）。這個方式適合全部的進制轉換，理解了這個，後續的進制轉換都會很容易理解。

2進制的比較簡單，咱們直接忽略，咱們來看下應用到3進制，一樣是1001，轉換10進制公式:1x3^3+0*3^2+0*3^1+1*3^0=28，咱們發現只是底數改變，由於是3進制，因此以3爲底數，另外計算方式仍是採用10進制算式計算，這代表用10進制算出的答案，就至關於3進制轉換爲10進制，1001轉換爲10進制就是28。

那爲什麼不採用其餘進制來計算？

採用其餘進制計算，那麼其餘進制的乘法口訣你的熟練一遍了，好比10進制的99乘法口訣，你用其餘進制的乘法口訣得本身來演繹一遍了，如此這個和咱們的經常使用習慣有些相駁，換算起來會比較慢，因此通常採用十進制與其它進制互轉或者做爲中間步驟來處理。

二、10進制轉換爲其餘進制

採用上述方法後，咱們已經能夠作到全部進制轉換，包括10進制轉3進制，好比十進制28轉換爲3進制28=2*3+22,這個採用3進制（3的三進製表示10）來進行計算，可是會很麻煩。因此10進制轉換其餘進制，咱們常採用短除法，以下:

當前數不斷除以3並把餘數做爲新的最高位，28除以3餘1，1爲「個位」，9除以3餘0，0爲「十位」，3除以3餘0，0爲「百位」，最終的1是「千位」。

若是咱們有注意到前面的3進制轉10進制算法，咱們能夠發現短除法實際上是3進制轉10進制的逆操做，好比3進制轉換爲十進制時候是：1*3^3+0*3^2+0*3^1+1*3^0 ，咱們轉換一下是((1*3+0)*3+0)*3+1，如此和10進制轉換3進制的時候逆向操做。

3、小數

若是前面的理解了，小數就能夠很容易理解了，咱們仍是先從10進制來看。好比十進制12.34，咱們看小數後面十分位部分.3，表示把1分爲10份只取3份，.04百分位部分是把1分爲100份，取4份。那麼咱們換成公式:

12.34=1*10^1+2+3*(1/10)+4*(1/100)
     =1*10^1+2+3*10^-1+4*10^-2複製代碼

咱們看到小數部分仍是以進製爲底數，不過指數部分採用了負數，點的左邊的位的指數是位的正冪，點數的右邊是位的指數負冪。理解了這個，其餘進制的小數部分也就瞭解， 它們是相同的，好比二進制1001.101：

有了這個理解，咱們後續的浮點數就比較好理解了，IEEE浮點表示浮點數，也是基於這種方式，只是定義了些規範，後續咱們會詳細瞭解。

4、移位操做

常見的移位操做有三種:左移，邏輯右移，算術右移。

移動操做

操做	值
參數x	[01100011] [10010101]
x<<4	[00110000] [01010000]
x>>4(邏輯右移)	[00000110] [00001001]
x>>4(算術右移)	[00000110] [11111001]

一、左移

x向左移動k位，會丟棄最高的k位，並在右端補k個0，也就是常說的當前值乘以2的k次方。爲什麼是乘以2的k次方？咱們看10進制的時候，某數乘以10，就是在末尾增長1個0 ，由此咱們能夠聯想到，二進制左移一位（末尾加一個0）至關於乘以2，這個結論廣泛存在於全部進位制中：k進制數的末尾加個0，至關於該數乘以k。

咱們從圖中能夠看到，左移動一位，就至關於進位制展開式的每一個指數都加1，如此移動一位，就至關於當前數（1*2^5+1*2^1+!*2^0）*2^1=1*2^6+1*2^2+1*2^1

二、右移

理解了左移的原理，右移動的原理也是相同的，右移k位=進位制展開式的每一個指數都減k，也就是當前數除以進制的k次方。惟一不一樣的是分爲邏輯右移和算術右移。

邏輯右移就是無符號移位，右移幾位，就在左端補幾個0，好比上邊 Varint中每次右移7位，相應的當前數高位就會補充7個0。

算術右移動是有符號移位，和邏輯右移不一樣的是，算術右移是在左端補k個最高有效位的值，如此看着有些奇特，但對有符號整數數據的運算很是有用。咱們知道有符號的數，首位字節，是用來表示數字的正負。負數採用補碼形式來存儲，好比[11100110]，10進制是-26，算術右移1位以後[11110011],10進制是-13,如若不是補最高有效位的值1而是補作事0的話，右移以後就變成正數了。

5、字節序

單個字節並無字節序的問題，當一個數據須要多個字節存儲的時候，就會牽扯到這樣的問題，這個數據的地址是什麼，存儲器中如何排列這些字節，是高位地址存最高有效位，仍是低位地址存最高有效位。

好比一個int類型的變量，它的地址是使用字節中最小的地址，好比在存儲器上的位置是0x10一、0x10二、0x103，它的地址是0x101，如果這個數據是一個w位的整數，位表示爲[x(w-1),x(w-2)....,x1,x0],那麼其中x(w-1)是最高有效位，x0是最低有效位，w如果8的倍數，位被分組成字節，那麼最高有效字節是[x(w-1)...x(w-8)],最低有效字節是[x7,x6...x0]。這個也能夠成爲物理順序，和咱們普通人理解的存儲順序預期相符合，好比十進制也是高位（百位，10位）在地位（個位）前面。

一、小端法（little endian）

若是字節的邏輯順序與物理順序相反，也就是w的最低有效字節在前面[x7,x6....x0]，最高有效字節[x(w-1)...x(w-8)]在後面，此時成爲小端法（little endian)。多數intel兼容機都採用這種規則。

二、大端法（big endian）

若是字節的邏輯順序與物理順序相同，也就是w的最低有效字節[x(w-1)...x(w-8)]在前面，最高有效字節[x7,x6....x0]在後面，稱爲大端法（big endian），大多數IBM和SunMicrosystems的機器都是採用這種規則。

好比一個十六進制數:0x01234567,咱們用大端小端法看他們在存儲器上的位置。

咱們能夠看到大端法是比較符合咱們習慣的，高位在前地位在後。

上述Varint的算法，是採用小端法來存儲字節順序的。

buffer[position++] = (byte) ((value & 0x7F) | 0x80);複製代碼

每次都是獲取當前數據的後7個字節存儲到數據流buffer裏面，也就是低位字節放在buffer字節數組的前面。

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掃描關注更多，關注我的成長和技術學習，期待用本身的一點點改變，帶給你一些啓發及感悟。