有趣的二進制-浮點數

本篇是二進制系列第三篇，如若你有興趣，請持續關注，後期會持續更新。其餘文章列表以下:

有趣的二進制

有趣的二進制—高效位運算

1、 精度

若是你有看過《有趣的二進制》這篇文章，你就會明白進制（不侷限於二進制）中的小數是如何表示。由於每種進制都有其侷限性，也就是約數的問題，好比

一樣是1/3，在三進制下正好分乾淨，但在十進制下就總也分不完。十進制只能近似的表示1/3而沒法精確的表示1/3。

一樣是0.1，在十進制下能夠精確的表示爲0.1，而在二進制下只能近似的表示0.00011001100110011...(循環0011)

計算機中，存儲數據的方式是採用二進制，所以在有限的存儲空間下，絕大部分的十進制小數都不能用二進制浮點數來精確表示。通常狀況下，你輸入的十進制浮點數僅由實際存儲在計算機中的近似的二進制浮點數表示。不要相信浮點數結果精確到了最後一位，也永遠不要比較兩個浮點數是否相等。

須要說明的是，雖然目前計算機表示的精度多數都是近似值，但多數狀況下都夠用了，若是你對精度有更高要求，每一種語言都有本身實現和處理方式。特別要注意的是防止上溢和下溢現象的發生。

 

二 、 IEEE 754 標準

IEEE 754

IEEE二進制浮點數算術標準（IEEE 754）是20世紀80年代以來最普遍使用的浮點數運算標準，爲許多CPU與浮點運算器所採用。主要規範以下:

這個公式中:

一、s(Sign)：符號，表示是正數仍是負數。0正數，1負數

二、E(Exponent)：指數域，E是2的指數，相似於科學計數法中（a×10^n）中的n，如此E是負數就能夠表示小數了。不過這裏E是一個無符號整數，32位的時候，E的佔用8位，取值範圍0-255，存儲E的時候咱們稱爲e，它是E的值與一個固定值（32位的狀況是127）的和（e=E+bias,E=e-bias，bias=127）。採用這種方式表示是由於，指數的值可能爲正也可能爲負，若是採用補碼錶示的話，符號位S和Exp自身的符號位將致使不能簡單的進行大小比較。

三、M(Mantissa):尾數域，浮點數具體的數值. 1≤M<2,隱含的以1開頭表示，M表示的二進制表達式爲1.xxx...,第一位老是1，所以IEEE 754規定，保存M時，默認這個數的第一位老是1，所以能夠被捨去，只保存後面的xxxxxx部分。

示例

好比十進制的3.25，咱們分爲如下幾步進行轉換。

一、轉換二進制

3.25 這整數部分3轉換爲二進制是11，小數部分0.25 轉換爲二進制爲2^-2，也能夠按照乘以 2 取整數位的方法:

(1) 0.25 x 2 = 0.5  取整數位 0 得 0.0
(2) 0.5 x 2 = 1  取整數位 1 得 0.01

如此3.25轉化爲二進制爲11.01

二、有效數（Mantissa）

上述規則咱們知道，尾數部分最高有效位（即整數字）是1，也就是尾數有一位隱含的二進制有效數字。所以咱們轉換尾數的時候，始終保持最高位爲1（小數點左邊），經過二進制科學計數法轉換，咱們獲得11.01=1.101*2^1。

三、IEEE 754 規約形式

經過上述2步，獲得1.101*2^1。咱們採用規約形式獲取填充3個部分

s(Sign）：正數=0；

E(Exponent):E=1,e=E+bias=1+127=128。此處存儲的e，是通過以127做爲偏移量調整的。

M(Mantissa):1.101 中，我只獲取有效數（捨去整數部分1，只取小數部分）101

所以存在計算機中的3.25 浮點數是:

特殊值

從wiki上能夠看到依據指數是否爲0 ，還能夠分爲一下幾種狀況

指數不全爲0或者不全爲1。此時爲規約形式，如上述的示例。尾數部分，默認整數部分是1，不存儲，獲取後第一位默認爲1。指數部分有偏移量

E全爲0  。此時爲非規約形式。爲什麼要引入非規則浮點數，當小於的數會下溢爲0，對於高精度來講這是不能接受的，而引入不規則浮點數後，小於的數纔會下溢爲0 。

E全爲1 。尾數爲0，則表示無窮大。非零則表示NaN(浮點數排序這種特殊問題須要處理)

運算方式

通常浮點數的運算流程以下，非規則浮點計算加法時「對階」計算有不一樣，再也不細說。

1. 指數項對齊。指數項對齊，小的向大的對齊，若是判斷大小，則上述指數中的偏移量就起很大做用了，指數大的必然大，後續能夠減小判斷
2. 尾數求和。對齊後，對尾數進行加減處理
3. 規則化。對尾數進行截取，保證精度
4. 舍入。判斷丟失的數值，進行舍入
5. 判斷結果。判斷結果是否溢出

3、非規範化浮點數

 

爲什麼要引入非規範化浮點數

引入一個精度失準的事故:

On 25 February 1991, a loss of significance in a MIM-104 Patriot missile battery prevented it intercepting an incoming Scud missile in Dhahran, Saudi Arabia, contributing to the death of 28 soldiers from the U.S. Army’s 14th Quartermaster Detachment.[25] See also: Failure at Dhahran

1991年2月25日，在MIM-104愛國者導彈電池中，一個重要的精準丟失阻止了它在沙特阿拉伯達哈蘭攔截一架新的飛毛腿導彈，形成美軍第十四軍區分離隊28名士兵死亡。

對於規則浮點數而言，指數項範圍爲01-FE（1到254），當小於的浮點數，用規格化數值表示，運算的時候會被電腦看成0來處理，若是精度可以再次提升一些的話，就不會出現這種狀況了,所以引入不規則浮點數後，小於的數纔會下溢爲0 。

採用非規約浮點數，用來解決填補絕對值意義下最小規格數與零的距離，如上圖所示，僅僅用規則浮點數的表示方式，0到最小正常數之間的間隔要遠遠大於最小正常數到次小正常數之間的間隔（2^-126 * 2^-23 = 2^-149），能夠說是很是忽然的下溢出到0，這是不知足咱們的指望的。所以選擇約定小數點前一位能夠爲0，剩下的一小段區間（即黃色括號）再均勻劃分爲段，如此就多了2^23精度，能夠精確到附近。

 

引入非規範化浮點數帶來的問題

在《你應該知道的浮點數基礎知識》引入一個算法題，很好了詮釋致使計算速率方面的問題。我簡單貼一下:

const float x=1.1;
 const float z=1.123;
 float y=x;
// 算法1  
 for(int j=0;j<90000000;j++)
    {
        y*=x;
        y/=z;
        y+=0.1f;
        y-=0.1f;
    }

// 算法2
for(int j=0;j<90000000;j++)
    {
        y*=x;
        y/=z;
        y+=0;
        y-=0;
    }

算法2中在進行上百次循環之後，y被標識爲非規格化浮點，最終致使的結果是算法2比算法1慢了整整7倍左右。

 這就是非規則浮點數的計算速度慢於規則浮點數，雖然下溢下沉了，但須要CPU額外進行解碼和編碼標識，如此，效率緩慢，極端狀況下，規格化浮點數操做可能比硬件支持的非規格化浮點數操做快100倍。

另外非規則浮點數沒法解決計算過程當中下溢的產生，由於只是精度精確到附近，當有更小的浮點數時候，依然會下溢爲0。