線性迴歸之——最小二乘法

1、引言

這段時間學習《機器學習》，學到第5章的「Logistic迴歸」，感受至關吃力。追本溯源，從「Logistic迴歸」到「線性迴歸」，再到「最小二乘法」。最終定格到了《高等數學》（第六版·下冊）第九章第10節「最小二乘法」，這才瞭解到最小二乘法背後的數學原理出自哪裏。

「最小二乘法」是最優化問題中創建經驗公式的一種實現方法。瞭解它的原理，對於瞭解「Logistic迴歸」和「支持向量機的學習」都頗有裨益。

2、背景知識

「最小二乘法」出現的歷史背景是頗有意思的。（如下文字摘錄維基百科）

1801年，意大利天文學家朱賽普·皮亞齊發現了第一顆小行星穀神星。通過40天的跟蹤觀測後，因爲穀神星運行至太陽背後，使得皮亞齊失去了穀神星的位置。隨後全世界的科學家利用皮亞齊的觀測數據開始尋找穀神星，可是根據大多數人計算的結果來尋找穀神星都沒有結果。時年24歲的高斯也計算了穀神星的軌道。奧地利天文學家海因裏希·奧爾伯斯根據高斯計算出來的軌道從新發現了穀神星。

高斯使用的最小二乘法的方法發表於1809年他的著做《天體運動論》中，而法國科學家勒讓德於1806年獨立發現「最小二乘法」，但因不爲時人所知而默默無聞。兩人曾爲誰最先創立最小二乘法原理髮生爭執。

1829年，高斯提供了最小二乘法的優化效果強於其餘方法的證實，見高斯-馬爾可夫定理。

3、知識運用

「最小二乘法」的核心就是保證全部數據誤差的平方和最小。（「平方」的在古時侯的稱謂爲「二乘」）

假設咱們收集到一些戰艦的長度與寬度數據

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
長度（m）	208	152	113	227	137	238	178	104	191	130
寬度(m)	21.6	15.5	10.4	31.0	13.0	32.4	19.0	10.4	19.0	11.8

根據這些數據咱們用python畫出散點圖：

畫散點圖的代碼以下：

# -*- coding: utf-8 -*
import numpy as np
import os
import matplotlib.pyplot as plt
def drawScatterDiagram(fileName):
    #改變工做路徑到數據文件存放的地方
    os.chdir("d:/workspace_ml")
    xcord=[];ycord=[]
    fr=open(fileName)
    for line in fr.readlines():
        lineArr=line.strip().split()
        xcord.append(float(lineArr[1]));ycord.append(float(lineArr[2]))
    plt.scatter(xcord,ycord,s=30,c='red',marker='s')
    plt.show()

假如咱們取前兩個點（238,32.4）（152, 15.5）就能夠獲得兩個方程

152*a+b=15.5

328*a+b=32.4

解這兩個方程得a=0.197,b=-14.48

那樣的話，咱們能夠獲得這樣的擬合圖：

好了，新的問題來了，這樣的a,b是否是最優解呢？用專業的說法就是：a,b是否是模型的最優化參數？在回答這個問題以前，咱們先解決另一個問題：a,b知足什麼條件纔是最好的？答案是：保證全部數據誤差的平方和最小。至於原理，咱們會在後面講，先來看看怎麼利用這個工具來計算最好的a和b。

假設全部數據的平方和爲M，則

咱們如今要作的就是求使得M最小的a和b。請注意這個方程中，咱們已知yⁱ和xⁱ

那其實這個方程就是一個以（a,b）爲自變量，M爲因變量的二元函數。

回想一下高數中怎麼對一元函數就極值。咱們用的是導數這個工具。那麼在二元函數中，

咱們依然用導數。只不過這裏的導數有了新的名字「偏導數」。偏導數就是把兩個變量中的一個視爲常數來求導。

經過對M來求偏導數，咱們獲得一個方程組

=0

=0

這兩個方程中x_i和y_i都是知道的。

很容易就求得a和b了。因爲採用的是維基百科的數據，我這裏就直接用答案來畫出擬合圖像：

代碼以下：

# -*- coding: utf-8 -*importnumpy as npimportosimportmatplotlib.pyplot as pltdefdrawScatterDiagram(fileName):#改變工做路徑到數據文件存放的地方os.chdir("d:/workspace_ml")xcord=[];ycord=[]fr=open(fileName)forline infr.readlines():lineArr=line.strip().split()xcord.append(float(lineArr[1]));ycord.append(float(lineArr[2]))plt.scatter(xcord,ycord,s=30,c='red',marker='s')#a=0.1965;b=-14.486a=0.1612;b=-8.6394x=np.arange(90.0,250.0,0.1)y=a*x+bplt.plot(x,y)plt.show()

# -*- coding: utf-8 -*
import numpy as np
import os
import matplotlib.pyplot as plt
def drawScatterDiagram(fileName):
    #改變工做路徑到數據文件存放的地方
    os.chdir("d:/workspace_ml")
    xcord=[];ycord=[]
    fr=open(fileName)
    for line in fr.readlines():
        lineArr=line.strip().split()
        xcord.append(float(lineArr[1]));ycord.append(float(lineArr[2]))
    plt.scatter(xcord,ycord,s=30,c='red',marker='s')
    #a=0.1965;b=-14.486
    a=0.1612;b=-8.6394
    x=np.arange(90.0,250.0,0.1)
    y=a*x+b
    plt.plot(x,y)
    plt.show()

4、原理探究

數據擬閤中，爲何要讓模型的預測數據與實際數據之差的平方而不是絕對值和最小來優化模型參數？

這個問題已經有人回答了，見連接（http://blog.sciencenet.cn/blog-430956-621997.html）

我的感受這個解釋是很是有意思的。特別是裏面的假設：全部偏離f(x)的點都是有噪音的。

一個點偏離越遠說明噪音越大，這個點出現的機率也越小。那麼偏離程度x與出現機率f(x)知足什麼關係呢？——正態分佈。

已知N個點（用D來表示），求直線（用h來表示）出現的機率就能夠表示爲：P(h|D)

根據貝葉斯定理：P(h|D)=P(D|h)*P(h)/P(D)即P(h|D)∝P(D|h)*P(h) (∝表示「正比於」)

這就是一個生成模型了——由直線h生成點集D。

咱們再做一個假設：h生成D中的每個點都是獨立的（若是瞭解貝葉斯文本分類的話，這裏就很好理解了），那麼P(D|h)=p(d1|h)*p(d2|h)…

結合前面正態分佈，咱們能夠寫出這樣的式子：p(di|h)∝ exp(-(ΔYi)^2)

那麼P(D|h)∝EXP[-(ΔY1)^2]* EXP[-(ΔY2)^2] * EXP[-(ΔY3)^2] * ..

又由於：e^a_{*e^b*e^c=e^a+b+c}

因此p(D|h)∝ EXP{-[(ΔY1)^2 +(ΔY2)^2 + (ΔY3)^2 + ..]}

咱們知道f(x)=e^x的分佈圖像爲：

由於e的指數永遠小於0，因此，想要p(D|h)最大，就必須使[(ΔY1)^2 + (ΔY2)^2 + (ΔY3)^2 + ..]無限接近於0，即：最大化p(D|h)就是要最小化[(ΔY1)^2 + (ΔY2)^2 + (ΔY3)^2 + ..]

到此，最小二乘法的原理獲得了詮釋。

5、拓展延伸

上面講的都是二維的狀況，也就是隻有一個自變量。但現實世界中影響最後結果的都是多種因素的疊加，即自變量會有多個的狀況。

對於通常N元線性函數，用《線性代數》中的逆矩陣來求解就OK了；因爲暫時沒有找到合適的例子，就做爲一個引子，留在這裏了。

固然天然界更多的是多項式擬合，而非簡單的線性，那就是更高級的內容了。

參考文獻

《高等數學》（第六版）（高等教育出版社）

《線性代數》（北京大學出版社）

互動百科：最小二乘法

維基百科：最小二乘法

科學網：最小二乘法？爲神馬不是差的絕對值