週期信號的傅里葉變換

爲了在統一框架裏分析週期信號與非週期信號，能夠給週期信號也創建傅里葉變換。 有兩種方法求週期信號的傅里葉變換：

*1. 利用傅里葉級數進行構造 ** 對於週期信號$x(t)$，其傅里葉級數展開式爲： $$x(t) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty}a_ke^{jkw_0t}$$ 係數$a_k$表示爲： 因爲 說明週期性復指數信號的頻譜是一個衝激，那麼咱們推廣這個關係，可得： 代表：週期信號的傅里葉變換由一系列等間隔的衝激函數線性組合而成，每一個衝激分別位於信號各次諧波的頻率處，其強度是傅里葉級數係數的$2\pi$倍。 2. 週期延拓 這種方法先將$x(t)$在一個週期內截斷，得信號$x_T(t)$，求出$x_T(t)$的傅里葉變換$X_T(w)$，再對$X_T(w)$週期延拓得$X(w)$。 具體來講： 根據$\delta$函數性質，有： $$x(t) = x_T(t)\sum_{k = -\infty}^{+\infty}\delta(t - kT)$$ 設週期衝激串$\sum_{k = -\infty}^{+\infty}\delta(t - kT)$的傅里葉變換爲$F(w)$， 由時域卷積定理： $$X(w) = X_T(w)F(w)$$ 又時域週期爲T的週期衝激串的傅里葉變換在頻域是一個週期爲$\frac{2\pi}{T}$的週期衝激串，即： $$F(w) = \frac{2\pi}{T}\sum_{k = -\infty}^{+\infty}\delta(w - \frac{2\pi k}{T})$$ 故可得： $$X(w) = \frac{2\pi}{T}X_T(w)\sum_{k = -\infty}^{+\infty}\delta(w - \frac{2\pi k}{T})$$ 也就是： $$X(w) = w_0\sum_{k = -\infty}^{+\infty}X_T(kw_0)\delta(w - kw_0)$$ 咱們對比兩種方法獲得的結果，可知： 週期信號傅里葉級數的係數$a_k = \frac{1}{T}X_T(kw_0)$