「總結」： 機率與指望

知識點: 機率與指望

知識歸類: 數學

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胡言亂語·前言

做爲一名先後2000萬的高清菜雞（亂入了抱歉）

以前考試遇到機率當即跳，感受機率的題目都不可作。

今天來死磕機率與指望啦。

（可能機率與指望只是個開頭。之後會陸續複習一些數學知識。）

另外就是，我寫這東西本身複習用的哇，嚴謹性什麼的……

0/1：定義

定義函數$P(A)$表示A事件發生的可能性大小，稱爲機率測度。

則A是事件集合$F$的一個子集，而且全部事件$A$均可以看做是樣本空間$\Omega$的一個子集，那麼合法的三元組$(\Omega,F,P)$被稱爲機率空間。

好抽象啊不看不看。

$\Omega$：樣本空間。$F$：事件全集。$P$：機率函數。

$F$與$\Omega$的區別：

$F={A,B,C}$，則$\Omega=\{\{A,B,C\},\{A,B\},\{B,C\},\{A,C\},\{A\},\{B\},\{C\},\varnothing \}$

0/2：條件機率公式

$P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

（$B$事件發生而且$A$事件的機率等於$B$事件發生狀況下$A$、$B$同時發生的機率）

0/3：全機率公式

$P(A) = \sum\limits_{i} P(A | B_i) * P(B_i)$

基本思想：將事件$A$分解成幾個小事件，經過求小事件的機率，而後相加從而求得事件$A$的機率。而將$A$分割時，並不是對$A$直接進行分割，而是找到樣本空間$\Omega$的一個劃分，從而將$A$事件分紅幾個部分。

舉個例子：P(我和remarkable有一我的頗有錢)=P(這我的是remarkable)*P(remarkable頗有錢|這我的是remarkable)+P(這我的是我)*P(我頗有錢|這我的是我)

（以上柿子等價於：$\frac{1}{4}=\frac{1}{2}*\frac{1}{2}+0*0 $）

0/4：貝葉斯公式

$P(B_i | A)=\frac{P(B_i)P(A | B_i)}{\sum\limits_{j=1}^nP(B_j)P(A | B_j)}$

基本思想：與全機率公式相反，貝葉斯公式是創建在大事件A已經發生了的基礎上，分割中小事件$B_i$的機率。

柿子意義：計算在$A$事件發生的條件下發生$B_i$事件的機率。

0/5：指望

指望是「隨機變量的指望」。

（啥是隨機變量 /懵逼臉.jpg）

隨機變量是定義在機率空間上的函數。隨機試驗的結果不一樣，隨機變量的取值不一樣。

不一樣的基本結果可能致使隨機變量取到相同的數值。

對於隨機變量X，它的指望$E(X)=\sum$ 基本結果i發生的機率*發生基本結果i時X的數值，（i是一個基本結果）

指望具備可加性，也叫指望的線性性：$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$

（基礎知識簡單然而就是不會作題，趕忙找題刷去了……）

0/F：一些idea和題目題解亂堆

偶然看到一些題目，有的並不會，查了題解大概明白了。有的……好像並無本身秒掉的。

你有一副撲克牌，$54$張，平均分紅三堆，每堆$18$張，求大小王在同一堆的機率。

題解：設隨機事件$A$爲大小王在同一堆，$A_i$爲大小王同在第$i$堆，則有：

$P(A)=P(A_1+A_2+A_3)$

根據機率的線性性：上式$=\sum\limits_{i=1}^3 P(A_i)$

設$B_i$爲大王在第$i$堆的機率，$S_i$爲小王在第i堆的機率。

根據條件機率公式：上式$=\sum\limits_{i=1}^3 P(B_i|S_i)*P(S_i)$

$=3*(17/53)*(1/3)=17/53$.

一共有n個牛肉堡，n個雞肉堡，2n我的，求最後兩人拿到同一種漢堡的機率

題解：事件「最後兩人拿到同一種漢堡」很差想，咱們能夠想它的對立事件「最後兩人拿到不一樣的漢堡」。

因此咱們須要讓前2n-2我的各自拿走n-1種漢堡。因爲最後兩種漢堡都剩下了一個，因此前面的每一個人都會做出選擇。

事件的全集就變成了$2^{2n-2}$，而我想要的事件是其中n-1我的拿了一種漢堡，$C_{2n-2}^{n-1}$便可。

答案爲：$\frac{C_{2n-2}^{n-1}}{2^{2n-2}}$

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