機率筆記7——數學指望

　　若是知道一個隨機變量的分佈函數，就能知道這個隨機變量體現出的隨機性的客觀規律。可是不少時候咱們不清楚分佈函數是什麼。有些時候，對於一批數據來講，未必必定要關心分佈函數。好比一批產品，咱們可能只關心這批產品的平均使用壽命，這裏的平均使用壽命是隨機變量的某個數字指標，稱爲隨機變量的數字特徵。數字特徵與「隨機」沒有任何關係，確切地說是經過一系列計算方法將變量的隨機性消除了。

數學指望的概念

　　數學指望是一種重要的數字特徵，它反映隨機變量平均取值的大小，是試驗中每次可能結果的機率乘以其結果的總和。這裏的「指望」一詞來源於賭博，大概意思是當你下注時，指望贏得多少錢。

　　簡單地說，數學指望就是均值，咱們以一個例子來講明數學指望。

　　有一個射擊比賽，分爲大、中、小三類目標，其分值和命中率以下：

　　若是一個選手射擊了三次，假設它必定會命中目標，那麼指望的平均分是多少？

　　這個「指望的平均分」就是一個數學指望，看起來挺簡單：

　　很遺憾，這是錯誤的結果，它忽略的命中率。正確的均值是：

　　命中率至關於計算機算法中常說的權重（權重等同於機率論中的機率），經過加權平均才能獲得合理的均值。所以說，數學指望就是合理的加權平均值，指望體如今合理二字上，指望值並不必定包含在變量的輸出值集合裏。

離散型和連續型隨機變量的數學指望

　　離散型的數學指望容易理解，離散事件的每一個取值都對應一個機率：

　　能夠把x_i看做得分，p_i至關於獲得該分值的機率，它的數學指望是全部變量的加權平均：

　　對於連續型事件來講，某一點的機率是沒有意義的（詳細說明參見上一章的內容），咱們要關注的是某兩個點之間的分佈。實際上咱們能夠藉助密度函數表達某一點上的機率。設f(x)是連續型事件的密度函數，那麼P(x)=f(x)dx，雖然計算f(x)dx沒有意義，也沒法計算，可是並不妨礙用它來表達P(x)。如今知道了某一變量的值和該變量下事件發生的機率（權重），能夠計算它的數學指望（加權平均）了：

隨機變量函數的數學指望

　　有一個隨機變量X，Y=g(X)，Y的數學指望是什麼？

　　g(X)是將隨機變量包裹在一個函數內，這彷佛有些使人迷惑，咱們仍然以射擊的例子說明。

　　以前的射擊比賽得分過低，組織方打算提升分值，具體作法是在原來的分值基礎上乘以100，即g(x) = 100x：

　　如今的目標是計算g(X)的數學指望。此次沒那麼難以理解了：

　　雖然得分變了，但命中率未變，也就是每一個變量出現的機率沒有變。將問題泛化，若是X是離散型隨機變量，那麼隨機變量函數Y=g(X)的數學指望是：

　　若是X是連續型隨機變量，那麼隨機變量函數Y=g(X)的數學指望是：

　　其中f(x)dx仍然至關於X=x時事件發生的機率P(x)。

 

數學指望的性質

　　 設C爲一個常數，X和Y是兩個隨機變量，則：

　　

　　性質1是說指望是做用在隨機變量上的，對常數無效；性質3和性質4能夠推到到任意有限個相互獨立的隨機變量之和或之積的狀況。　　

 

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　　 做者：我是8位的

　　出處：http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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