關於機率指望

\[機率指望\]

感謝\(gzy\)

首先幾個定義：

隨機試驗：例如投硬幣就是個隨機試驗他的結果是不肯定的
樣本空間：隨機試驗獲得的結果的集合記爲\(S\)
樣本點：集合\(S\)中的元素\(e\in S\)
隨機時間：記爲\(A\)它是一個集合且是\(S\)的一個子集
隨機變量：有多種可能的取值的變量通常設爲\(X\)
獨立事件：互不影響的事件
離散變量：只能取有限個的個數

記機率爲\(P\)指望爲\(E\)

集合的運算

\(\begin{cases}1.A \cup B \ \ \ \ ( 與B至少有一個發生\\2.A \cap B \iff A * B \ \ (A與B同時發生\\3. A-B\\4.A的逆就是A的補集\end{cases}\)

須要注意若\(A\cap B=\emptyset\)則\(A\)與\(B\)互斥
對於\(3.\)畫個維恩圖可能比較直接

一句廢話：

頻率\(=\frac{正面朝上的次數}{總次數}\) (以擲硬幣爲例
機率是樣本點的一個屬性
對於機率爲\(p\)的事件指望\(\frac{1}{p}\)次後發生

機率的計算公式：

\(P(A)=\sum_{e\in A}P(e)\)
幾個性質：
\(1.P(A)\geq 0\)
\(2.\sum_{e\in S}P(e)=1\)
還有兩個不想寫了

古典概型：

\(P(e)=\frac{1}{|S|}\) \(，\) \(P(A)=\frac{|A|}{|S|}\)
這不是絕對值這是大小別問我怎麼知道的我就是知道

指望的計算公式：

\(E(x)=\sum P(x=i)*i\)

幾個比較重要的性質:

\(1.\)對於獨立事件：\(E(A *B)=E(A)*E(B)\)
\(2.\)對於獨立事件：\(P(A*B)=P(A)*P(B)\)
\(3.\)指望的線性性：\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)
\(4.\)對於離散變量：\(P(x=k)=P(x\leq k)-P(x\leq k-1)\)

EG:

\(1.\)有\(n\)個隨機變量\(X(1...n)\)，每一個隨機變量都是從\(1...s\)中隨機一個整數求\(Max(X(1...n))\)的指望
\(Solution:\)
設\(max\)表示序列最大值
\(E(max)=\sum _{i=1}^sP(max=i)*i\)
\(=\sum_{i=1}^s[P(max\leq i)-P(max\leq i-1)]*i\)
\(\sum _{i=1}^s(\frac{i}{s})^n-\frac{i-1}{s}^n\)

\(2.\)每次隨機一個\(1...n\)的整數，問指望幾回能湊齊全部數
\(Solution:\)設\(A_i\)表示已經湊完了\(i-1\)個數再湊第\(i\)個數的步數
\(E(\sum_{i=1}^nA_i)=\sum_{i=1}^nE(A_i)=\sum_{i=1}^n\frac{n}{n-i+1}\)

\(3.\)有\(n\)堆石子，每堆石子有\(p[i]\)個石子，每次可選擇\(1\)個石子刪除其所在堆，問刪除第一堆的指望
\(Solution:\)
設\(x_i=\)\(\begin{cases}0\\1\end{cases}\)
\(0\)表示\(i\)這堆石頭在第一堆石頭以前沒有被選
\(1\)表示\(i\)這堆石頭在第一堆石頭以前已經被扔了

\(S=\sum_{i=1}^nX_i\)
\(E(s)=E(\sum_{i=2}^n)=\sum_{i=2}^nE(x_i)=\sum_{i=2}^nP(x_i)=\sum{i=2}^n\frac{a_i}{a_1+a_i}\)

沒了 謝謝收看，祝身體健康！