簡單易懂地向你解釋：離散函數，差分，二階差分和 Laplacian 濾波原理

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若有寫的不對的還望指正！

離散函數

什麼是離散函數？咱們來看幾個例子:

這是 $f(x) = \sin x + \sin {x \over 2}$ 的函數圖像。它的定義域是 $R$，是連續的。

再看下圖這是 $f(x) = \sin x + \sin {x \over 2}$ 當 $x$ 是 $1\over2$ 的整數倍時的圖像。是離散的。這樣的定義域是離散集合的函數，稱爲離散函數。

若是再苛刻一點，定義域是天然數集，值域是實數域，那麼這樣的函數就是離散數值函數

差分和二階差分

什麼是差分

差分就是相鄰兩個離散值的差。以函數 $f(x) = x^2,\ x\in Z$爲例

$x$	$f(x)$
1	1
2	4
3	9
4	16
5	25

對於 $x = 1$，咱們能夠知道：

$f(1) = 1 \\f(1 + 1) = 4$

那麼差分

$\Delta f(1) = f(1+1) - f(1) = 4 - 1 = 3$

內容補充

這樣用$x+1$和 $x$做差的差分，稱爲向前差分，記號是$\Delta$。另有：

$f(x_i) - f(x_i - h)$：向後差分，記做 $\nabla。$

$f(x_i + h) - f(x_i - h)$ ：中心差分。

若是進行一次泰勒展開，還能獲得一階微分的中心差商，可用於更高精度要求。有興趣的能夠自行了解。

以此類推，可得：

$x$	$f(x)$	$\Delta f(x)$
1	1	3
2	4	5
3	9	7
4	16	9
5	25	$\dots$

你會發現執行一次差分以後，差分值爲等差數列。實際上運用這個特色可讓電路進行求導等數學操做，神奇吧？

咱們對$\Delta f(x)$ 也執行差分，也就是差分的差分，稱爲二階差分。

由此可得：

$x$	$f(x)$	$\Delta f(x)$	$\Delta ^2f(x)$
1	1	3	2
2	4	5	2
3	9	7	2
4	16	9	$\dots$
5	25	$\dots$	$\dots$

二階差分以後，咱們獲得了常數列。能夠發現差分的做用和求導是十分相似的。

偏導數的差分形式

在實際問題中，咱們經常要面對不止一個自變量。好比圖像處理中的像素，須要面對$x,\ y$兩個自變量。這個時候能夠把差分看做相似微分的東西。那麼咱們對 $x$ 求差分的偏導能夠有：

$$ {\delta f\over\delta x} = {f(x, y) - f(x -1, y)\over1} $$

因爲函數是離散的，因此分母的增量是 $0$。

咱們把 $y$ 也考慮進來：

$$ {\delta f\over\delta x} = {f(x, y) - f(x -1, y)}\\ {\delta f\over\delta y} = {f(x, y) - f(x , y - 1)} $$

則二維的一階差分（向後的）能夠表示爲：

$$ \begin{align} \nabla f(x,y) & = {\delta f\over\delta x}+ {\delta f\over\delta y} \\ & = 2{f(x, y) - f(x -1, y)} - f(x , y - 1) \end{align} $$

實際使用時，可使用向後差分，也可使用向前差分：

$$ \begin{align} \nabla f(x,y) & = {\delta f\over\delta x}+ {\delta f\over\delta y} \\ & = - 2{f(x, y) + f(x -1, y)} + f(x , y - 1) \end{align} $$

也有人叫它導數，我以爲差分更能體現離散型。不過，你們明白意思就好。

拉普拉斯濾波

差分和導數相似，能夠反映變化的快慢。對灰度不一樣的兩個像素進行差分，獲得的值就是兩個像素的過渡急緩。而過分急劇的地方，每每就是圖像中物體的邊緣，所以咱們認爲：一階差分能夠檢測邊緣存在的可能性。這是一階差分在這裏的實際意義。

那麼若是是二階差分呢？在物理學中，對於位移$\vec{x}$和時間$t$，一階導數表示速度，二階差分表示速度的導數加速度。一樣的，在圖像處理上，一階差分表示相鄰像素的過渡急緩，二階差分就表示這種過分急緩的變化強弱，可能你仍是不明白，不要緊，咱們會在下面進一步解釋。

若是一階差分就能檢測邊緣，咱們爲何還要二階差分呢？

咱們看下面的圖：

這是一張從白到黑均勻漸變的圖案，若是交給一階差分來從上往下分析，會發現差分值一直都存在。因而一階差分濾波器告訴你：這裏全是邊緣。可是這和咱們的常識是不符的，由於雖然灰度變化了，可是變化的趨勢倒是均勻的。那麼怎麼樣才能正確判斷這是否是邊緣呢？聰明的你應該想到了，用二階差分來看，差分值一直是 0，說明變化是十分均勻的，說明邊緣並不存在。所以，二階差分纔是真能肯定邊緣的存在性。

如今知道了它的做用，咱們怎麼計算二階差分呢？顯然的，對一階差分再算一次差分就好了，具體的操做咱們在上一節的表格裏列過，用數學語言表達，對於 $x$ 的二階誤差分就是：

$$ \begin{align} \frac{\partial^2f}{\partial x ^2} & =\frac{\partial f'(x)}{dx^2}=f'(x+1)-f'(x)\\ & =f((x+1)+1)-f((x+1))-(f(x+1)-f(x))\\ & =f(x+2)-f(x+1)-f(x+1)+f(x) \\ & =f(x+2)-2f(x+1)+f(x) \end{align} $$

令 $x=x-1$ 得：

$$ \frac{\partial^2f}{\partial x ^2}=f(x+1)+f(x-1)-2f(x) $$

同理獲得對$y$ 的二階差分。故有：

$$ \frac{\partial^2f}{\partial x ^2}=f(x+1,y)+f(x-1,y)-2f(x,y)\\ \frac{\partial^2f}{\partial y ^2}=f(x,y+1)+f(x,y-1)-2f(x,y) $$

綜合可得：

$$ \begin{align} \Delta^2 f(x,y) & = \frac{\partial^2f}{\partial x ^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y ^2} \\ &=f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)-4f(x,y) \end{align} $$

這個東西就是拉普拉斯掩膜重心繫數，簡稱拉普拉斯算子，以窗口（窗口的概念，見高斯濾波原理章節）中心元素爲座標原點，將窗口中各個元素帶入，便可獲得窗口的權重模板，也稱核（Kernel）。

一個 8 鄰域的窗口核以下：

$$ k = \left[ \begin{matrix} -1 & -1 & -1 \\ -1 & 8 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \\ \end{matrix} \right] $$

以此核進行濾波，便可對圖像進行銳化。（提醒：結果中有負值部分，記得進行歸一化，以避免形成缺失）