圖論（九）最小生成樹-Kruskal算法
前面說過，Kruskal是從最短邊着手構建最小生成樹的。其基本過程是：先對圖中的所有邊按照權重值從小到大進行排序，然後着手選取邊構建最小生成樹。如果直接從小到大按順序選取，有可能形成了環，所以對環的處理就成了核心問題。
我們還是以前面的鄉鎮假設光纖網絡爲例：
Kruskal算法工作步驟如下：
（1） 將邊進行排序。
Begin |
End |
Weight |
e |
i |
7 |
c |
h |
8 |
a |
b |
10 |
a |
f |
11 |
b |
g |
12 |
b |
h |
12 |
d |
i |
16 |
f |
g |
17 |
b |
d |
18 |
g |
i |
19 |
d |
e |
20 |
d |
h |
21 |
c |
d |
22 |
d |
g |
24 |
（2） 按權重依次從小到大將邊加入最小生成樹。
我們依次將邊e-i(7),c-h(8),a-b(10),a-f(11),b-g(12),b-h(12),d-i(16)加入最小生成樹中（圖中標綠色的邊），到目前爲止，沒有任何問題。
（3） 檢查新加入的邊是否構成了環。
下面，按照順序需要將邊f-g(17)加入最小生成樹。
很不幸，這時a-b-g-f-a構成了環。於是f-g(17)被排除，不能被加入最小生成樹。
下面按順序加入的邊是b-c(18)，同樣b-c-g-b也構成了環，所以邊b-c(18)也被排除。如此依次類推，最後得到的最小生成樹是：
好了，算法介紹完了。就這麼簡單！
當然，這裏有個核心問題還沒有清楚的描述，即怎樣判斷構成了環？
判斷原理也很簡單：最小生成樹加入一條邊從而構成環，那麼這條邊的兩個頂點除了這條邊外，必然還有另一條路徑，即這兩個頂點在加入這個邊之前，就是連通的，或者在一個連通子圖上。
因此，在G=(V,E)中，我們令最小生成樹的初始狀態爲只有n個頂點，0條邊的非連通圖T=(V,{})，圖中每個頂點都是一個連通子圖，即有n個連通子圖。依次從E中按順序從小到大選擇邊，若該邊的兩個頂點落在T中不同的連通子圖上，則將次變加入到T中，否則捨去此邊，依次類推，直到T中所有頂點都在同一個連通子圖上爲止。
光說不練假把式。上代碼：
# -*- coding: utf-8 -*-
# 構建圖G，使用了鄰接矩陣表示法，9999代表非直連
G =[[0,10,9999,9999,9999,11,9999,9999,9999], # a的鄰居表
[10,0,18,9999,9999,9999,12,12,9999], # b的鄰居表
[9999,18,0,22,9999,9999,9999,8,9999], # c的鄰居表
[9999,9999,22,0,20,9999,24,21,16], # d的鄰居表
[9999,9999,9999,20,0,26,9999,9999,7], # e的鄰居表
[11,9999,9999,9999,26,0,17,9999,9999], # f的鄰居表
[9999,12,9999,24,9999,17,0,9999,19], # g的鄰居表
[9999,12,8,21,9999,9999,9999,0,9999], # h的鄰居表
[9999,9999,9999,16,7,9999,19,9999,0]] # i的鄰居表
# 構建頂點序號與符號對應集
v_dict ={}
v_strdict ={}
v_str ='abcdefghi'
for iin range(len(G)):
v_dict[i]= v_str[i]
for i, valuein enumerate(v_str):
v_strdict[value]= i
# 構建邊集
E =[(v_dict[u], v_dict[v], G[u][v]) for uin range(len(G))for vin range(len(G[u]))if 0< G[u][v]< 9999and u< v]
# 對邊集進行排序
E =sorted(E,key=lambdax:x[2])
# 構建最小生成樹
T =set()
# 構建頂點連通子圖
V =[0]* len(G)
# 判斷是否屬於同一連通子圖
def find_connect(V,v):
whileV[v]> 0:
v= V[v]
returnv
# 循環邊
for ein E:
#邊的兩個頂點是否已連通
v1, v2= find_connect(V, v_strdict[e[0]]), find_connect(V, v_strdict[e[1]])
ifv1 !=v2:
V[v1]= v2
T.add(e) #將邊加入最小生成樹
# 輸出最小生成樹
print(T)
# 輸出代價
print(sum([t[2]for tin T]))
輸出結果：
{('e', 'i', 7), ('g', 'i', 19), ('c', 'h', 8), ('a', 'f', 11), ('b', 'g', 12), ('d', 'i', 16), ('a', 'b', 10), ('b', 'h', 12)}
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該算法的主要執行過程在最後的for循環處，find_connect函數與頂點的個數V決定，時間複雜度爲O(logV)，而外面是邊E的循環，因此Kruskal算法的時間複雜度爲O(E logV)。