主對角佔優矩陣

定義

數域$K$上$n$級矩陣

$$ \textbf{A} = \begin{Bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{Bmatrix} $$

若知足

$$ a_{ii} \gt \sum_{j=1, j \neq i}^{n}{a_{ij}},i = 1,2,\cdots,n $$

，則A爲主對角佔優矩陣。
此矩陣有一個比較好的性質，那即是

列向量組 $\pmb{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n}$ 線性無關

等價的有如下兩條

• $rank\{\pmb{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\}}=n$
• $|\textbf{A}| \neq 0$

證實：

使用反證法
假設 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 線性相關，則在K中存在存在一組不全爲0的數 $\mathit{k_1,k_2,\cdots,k_n}$ ，使得

$$ k_1\pmb{\alpha_1}+k_2\pmb{\alpha_2}+\cdots+k_n\pmb{\alpha_n} = \mathbf{0} $$

不妨設 $|k_l|=\max\{|k_1|,|k_2|,\cdots,|k_n|\} \gt 0$，考慮上式的第
$l$個份量

$$ k_1a_{l1}+k_2a_{l2}+\cdots+k_na_{ln}=0 \\\Rightarrow a_{ll}=-\sum_{j=1,j\neq l}^{n}{\frac{k_j}{k_l}a_{lj}} \\\Rightarrow |a_{ll}| \le \sum_{j=1,j\neq l}^{n}{|\frac{k_j}{k_l}||a_{lj}|} \le \sum_{j=1,j\neq l}^{n}{|a_{lj}|} $$

與已知條件矛盾。所以 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 線性無關。於是它的秩爲n。