五種經常使用算法之五：分支限界法

分支限界法

基本思想：

分支限界法常以廣度優先或以最小耗費（最大效益）優先的方式搜索問題的解空間樹。
在分支限界法中，每個活結點只有一次機會成爲擴展結點。活結點一旦成爲擴展結點，就一次性產生其全部兒子結點。在這些兒子結點中，致使不可行解或致使非最優解的兒子結點被捨棄，其他兒子結點被加入活結點表中。
此後，從活結點表中取下一結點成爲當前擴展結點，並重覆上述結點擴展過程。這個過程一直持續到找到所需的解或活結點表爲空時爲止。

分支限界法與回溯法的區別：

（1）求解目標：回溯法的求解目標是找出解空間樹中知足約束條件的全部解，而分支限界法的求解目標則是找出知足約束條件的一個解，或是在知足約束條件的解中找出在某種意義下的最優解。
（2）搜索方式的不一樣：回溯法以深度優先的方式搜索解空間樹，而分支限界法則以廣度優先或以最小耗費優先的方式搜索解空間樹。

常見的兩種分支限界法：

（1）隊列式(FIFO)分支限界法
按照隊列先進先出（FIFO）原則選取下一個節點爲擴展節點。
（2）優先隊列式分支限界法
按照優先隊列中規定的優先級選取優先級最高的節點成爲當前擴展節點。

例子：單源最短路徑問題（參考http://www.cnblogs.com/chinazhangjie/archive/2010/11/01/1866136.html）

一、問題描述
在下圖所給的有向圖G中，每一邊都有一個非負邊權。要求圖G的從源頂點s到目標頂點t之間的最短路徑。

下圖是用優先隊列式分支限界法解有向圖G的單源最短路徑問題產生的解空間樹。其中，每個結點旁邊的數字表示該結點所對應的當前路長。

找到一條路徑：

目前的最短路徑是8，一旦發現某個結點的下界不小於這個最短路進，則剪枝：

同一個結點選擇最短的到達路徑：

2.剪枝策略
在算法擴展結點的過程當中，一旦發現一個結點的下界不小於當前找到的最短路長，則算法剪去以該結點爲根的子樹。
在算法中，利用結點間的控制關係進行剪枝。從源頂點s出發，2條不一樣路徑到達圖G的同一頂點。因爲兩條路徑的路長不一樣，所以能夠將路長長的路徑所對應的樹中的結點爲根的子樹剪去。
3.算法思想
解單源最短路徑問題的優先隊列式分支限界法用一極小堆來存儲活結點表。其優先級是結點所對應的當前路長。
算法從圖G的源頂點s和空優先隊列開始。結點s被擴展後，它的兒子結點被依次插入堆中。此後，算法從堆中取出具備最小當前路長的結點做爲當前擴展結點，並依次檢查與當前擴展結點相鄰的全部頂點。若是從當前擴展結點i到頂點j有邊可達，且從源出發，途經頂點i再到頂點j的所相應的路徑的長度小於當前最優路徑長度，則將該頂點做爲活結點插入到活結點優先隊列中。這個結點的擴展過程一直繼續到活結點優先隊列爲空時爲止。

源碼以下：

/* 主題：單源最短路徑問題
* 做者：chinazhangjie
* 郵箱：chinajiezhang@gmail.com
* 開發語言：C++
* 開發環境：Mircosoft Virsual Studio 2008
* 時間: 2010.11.01
*/

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <limits>
using namespace std;

struct node_info
{
public:
    node_info (int i,int w) 
        : index (i), weight (w) {}
    node_info () 
        : index(0),weight(0) {}
    node_info (const node_info & ni) 
        : index (ni.index), weight (ni.weight) {}

    friend 
    bool operator < (const node_info& lth,const node_info& rth) {
        return lth.weight > rth.weight ; // 爲了實現從小到大的順序
    }

public:
    int index; // 結點位置
    int weight; // 權值
};

struct path_info 
{
public:
    path_info ()
        : front_index(0), weight (numeric_limits<int>::max()) {}

public:
    int front_index;
    int weight;
};

// single source shortest paths
class ss_shortest_paths
{
     
public:
    ss_shortest_paths (const vector<vector<int> >& g,int end_location) 
        :no_edge (-1), end_node (end_location), node_count (g.size()) , graph (g) 
    {}

    // 打印最短路徑
    void print_spaths () const {
        cout << "min weight : " << shortest_path << endl;
        cout << "path: " ;
        copy (s_path_index.rbegin(),s_path_index.rend(),
            ostream_iterator<int> (cout, " "));
        cout << endl;
    }

    // 求最短路徑
    void shortest_paths () {
        vector<path_info> path(node_count);
        priority_queue<node_info,vector<node_info> > min_heap;
        min_heap.push (node_info(0,0));    // 將起始結點入隊

        while (true) {
            node_info top = min_heap.top ();    // 取出最大值
            min_heap.pop ();

            // 已到達目的結點
            if (top.index == end_node) {
                break ;
            }
            // 未到達則遍歷
            for (int i = 0; i < node_count; ++ i) {
                // 頂點top.index和i間有邊，且此路徑長小於原先從原點到i的路徑長 
                if (graph[top.index][i] != no_edge && 
                    (top.weight + graph[top.index][i]) < path[i].weight) {
                    min_heap.push (node_info (i,top.weight + graph[top.index][i]));
                    path[i].front_index = top.index;
                    path[i].weight = top.weight + graph[top.index][i];
                }
            }
            if (min_heap.empty()) {
                break ;
            }
        }

        shortest_path = path[end_node].weight;
        int index = end_node;
        s_path_index.push_back(index) ;
        while (true) {
            index = path[index].front_index ;
            s_path_index.push_back(index);
            if (index == 0) {
                break;
            }
        }
    }

private:
    vector<vector<int> >    graph ;            // 圖的數組表示
    int                        node_count;        // 結點個數
    const int                no_edge;        // 無通路
    const int                end_node;        // 目的結點
    vector<int>                s_path_index;    // 最短路徑
    int                        shortest_path;    // 最短路徑
};

int main()
{
    const int size = 11; 
    vector<vector<int> > graph (size);
    for (int i = 0;i < size; ++ i) {
        graph[i].resize (size);
    }
    for (int i = 0;i < size; ++ i) {
        for (int j = 0;j < size; ++ j) {
            graph[i][j] = -1;
        }
    }
    graph[0][1] = 2;
    graph[0][2] = 3;
    graph[0][3] = 4;
    graph[1][2] = 3;
    graph[1][5] = 2;
    graph[1][4] = 7;
    graph[2][5] = 9;
    graph[2][6] = 2;
    graph[3][6] = 2;
    graph[4][7] = 3;
    graph[4][8] = 3;
    graph[5][6] = 1;
    graph[5][8] = 3;
    graph[6][9] = 1;
    graph[6][8] = 5;
    graph[7][10] = 3;
    graph[8][10] = 2;
    graph[9][8] = 2;
    graph[9][10] = 2;

    ss_shortest_paths ssp (graph, 10);
    ssp.shortest_paths ();
    ssp.print_spaths ();
    return 0;
}

測試數據（圖）

測試結果：

min weight : 8
path: 0 2 6 9 10