五大經常使用算法之一：分治算法

時間 2019-12-05

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分治算法：

　　1、基本概念

　　在計算機科學中，分治法是一種很重要的算法。字面上的解釋是「分而治之」，就是把一個複雜的問題分紅兩個或更多的相同或類似的子問題，再把子問題分紅更小的子問題……直到最後子問題能夠簡單的直接求解，原問題的解即子問題的解的合併。這個技巧是不少高效算法的基礎，如排序算法( 快速排序，歸併排序)，傅立葉變換(快速傅立葉變換)……

　　任何一個能夠用計算機求解的問題所需的計算時間都與其規模有關。問題的規模越小，越容易直接求解，解題所需的計算時間也越少。例如，對於n個元素的排序問題，當n=1時，不需任何計算。n=2時，只要做一次比較便可排好序。n=3時只要做3次比較便可，…。而當n較大時，問題就不那麼容易處理了。要想直接解決一個規模較大的問題，有時是至關困難的。

　　2、基本思想及策略

　　分治法的設計思想是：將一個難以直接解決的大問題，分割成一些規模較小的相同問題，以便各個擊破，分而治之。html

　　分治策略是：對於一個規模爲n的問題，若該問題能夠容易地解決（好比說規模n較小）則直接解決，不然將其分解爲k個規模較小的子問題，這些子問題互相獨立且與原問題形式相同，遞歸地解這些子問題，而後將各子問題的解合併獲得原問題的解。這種算法設計策略叫作分治法。java

　　若是原問題可分割成k個子問題，1<k≤n，且這些子問題均可解並可利用這些子問題的解求出原問題的解，那麼這種分治法就是可行的。由分治法產生的子問題每每是原問題的較小模式，這就爲使用遞歸技術提供了方便。在這種狀況下，反覆應用分治手段，可使子問題與原問題類型一致而其規模卻不斷縮小，最終使子問題縮小到很容易直接求出其解。這天然致使遞歸過程的產生。分治與遞歸像一對孿生兄弟，常常同時應用在算法設計之中，並由此產生許多高效算法。算法

　　3、分治法使用場景

　　分治法所能解決的問題通常具備如下幾個特徵：設計模式

　　1) 該問題的規模縮小到必定的程度就能夠容易地解決ide

　　2) 該問題能夠分解爲若干個規模較小的相同問題，即該問題具備最優子結構性質。spa

　　3) 利用該問題分解出的子問題的解能夠合併爲該問題的解；設計

　　4) 該問題所分解出的各個子問題是相互獨立的，即子問題之間不包含公共的子子問題。code

　　第一條特徵是絕大多數問題均可以知足的，由於問題的計算複雜性通常是隨着問題規模的增長而增長；htm

　　第二條特徵是應用分治法的前提它也是大多數問題能夠知足的，此特徵反映了遞歸思想的應用；、blog

　　第三條特徵是關鍵，可否利用分治法徹底取決於問題是否具備第三條特徵，若是具有了第一條和第二條特徵，而不具有第三條特徵，則能夠考慮用貪心法或動態規劃法。

　　第四條特徵涉及到分治法的效率，若是各子問題是不獨立的則分治法要作許多沒必要要的工做，重複地解公共的子問題，此時雖然可用分治法，但通常用動態規劃法較好。

　　4、分治法得基本步驟

　　分治法在每一層遞歸上都有三個步驟：

　　step1 分解：將原問題分解爲若干個規模較小，相互獨立，與原問題形式相同的子問題；

　　step2 解決：若子問題規模較小而容易被解決則直接解，不然遞歸地解各個子問題

　　step3 合併：將各個子問題的解合併爲原問題的解。

　　它的通常的算法設計模式以下：

　　Divide-and-Conquer(P)

　　1. if |P|≤n0

　　2. then return(ADHOC(P))

　　3. 將P分解爲較小的子問題 P1 ,P2 ,…,Pk

　　4. for i←1 to k

　　5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 遞歸解決Pi

　　6. T ← MERGE(y1,y2,…,yk) △ 合併子問題

　　7. return(T)

　　其中|P|表示問題P的規模；n0爲一閾值，表示當問題P的規模不超過n0時，問題已容易直接解出，沒必要再繼續分解。ADHOC(P)是該分治法中的基本子算法，用於直接解小規模的問題P。所以，當P的規模不超過n0時直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,…,yk)是該分治法中的合併子算法，用於將P的子問題P1 ,P2 ,…,Pk的相應的解y1,y2,…,yk合併爲P的解。

　　5、分治法的複雜性分析

　　一個分治法將規模爲n的問題分紅k個規模爲n／m的子問題去解。設分解閥值n0=1，且adhoc解規模爲1的問題耗費1個單位時間。再設將原問題分解爲k個子問題以及用merge將k個子問題的解合併爲原問題的解需用f(n)個單位時間。用T(n)表示該分治法解規模爲|P|=n的問題所需的計算時間，則有：

　　T（n）= k T(n/m)+f(n)

　　經過迭代法求得方程的解：

　　遞歸方程及其解只給出n等於m的方冪時T(n)的值，可是若是認爲T(n)足夠平滑，那麼由n等於m的方冪時T(n)的值能夠估計T(n)的增加速度。一般假定T(n)是單調上升的，從而當mi≤n<mi+1時，T(mi)≤T(n)<T(mi+1)。

6、可以使用分治法求解的一些經典問題

　　（1）二分搜索

　　（2）大整數乘法

　　（3）Strassen矩陣乘法

　　（4）棋盤覆蓋

　　（5）合併排序

　　（6）快速排序

　　（7）線性時間選擇

　　（8）最接近點對問題

　　（9）循環賽日程表

　　（10）漢諾塔

7、一些經典問題求解代碼實現

　　1）二分搜索

　　　　二分搜索又叫作二分查找、折半查找，它是一種效率較高得查找方法。

　　　　二分搜索得要求：

　　　　線性表爲有序表，而且要用向量做爲表得存儲結構。

　　　　二分搜索得基本思想：先肯定待查找記錄所在的範圍，而後逐步縮小範圍直至找到或找不到該記錄位置。

　　　　二分查找步驟：

　　　　一、先肯定中間位置：

　　　　middle = (left+right)/2;

　　　　二、將待查找得key值與data[middle].key值相比較。若相等，則查找成功並返回該位置，不然須肯定新得查找區間，繼續二分查找，具體方法以下：

1. 　　若是data[middle].key大於key，因爲data爲有序線性表，可知data[middle...right].key均大於key，所以若表中存在關鍵字等於key得節點，則必定在位置middle左邊的子表中。
2. 反之，　data[middle].key小於key，　所以若表中存在關鍵字等於key得節點，則必定在位置middle右邊的子表中。下一次查找針對新得區域進行查找。

　　　　java代碼實現：

 1 public static void main(String[] args) {
 2         int[] a = {1,2,3,4,5,6,7,8,9};
 3         int pos =bSearch(a, 0, a.length-1, 1);
 4         System.out.println(pos);
 5     }
 6     
 7     
 8     public static int bSearch(int[] data,int left,int right,int key){
 9         //獲取中間位置
10         int middle = (left+right)/2;
11         //比較key值如相等，返回當前位置，不然確認新的查找空間
12         if(data[middle] == key){
13             return middle;
14         }else if(data[middle] >key){
15             return bSearch(data, left, middle-1, key);
16         }else{
17             return bSearch(data, middle+1, right, key);
18         }
19     }

　　2）漢諾塔　

　　　　在漢諾塔遊戲中，有三個分別命名爲A、B、C得塔座，幾個大小各不相同，從小到大一次編號得圓盤，每一個原盤中間有一個小孔。最初，全部得圓盤都在A塔座上，其中最大得圓盤在最下面，而後是第二大，以此類推.

　　　　遊戲的目的是將全部的圓盤從塔座A移動到塔座B;塔座C用來防止臨時圓盤,遊戲的規則以下:

　　　　一、一次只能移動一個圓盤

　　　　二、任什麼時候候都不能將一個較大的圓盤壓在較小的圓盤上面.

　　　　三、除了第二條限制,任何塔座的最上面的圓盤均可以移動到其餘塔座上.

　　漢諾塔問題解決思想:

　　　　在解決漢諾塔問題時,事實上,咱們不是罪關心圓盤1開始應該挪到哪一個塔座上,而是關心最下面的圓盤4.固然,咱們不能直接移動圓盤4,可是圓盤4最終將從塔座A移動到塔座B.按照遊戲規則,在移動圓盤4以前的狀況必定以下圖

　　咱們仍將分析,如何將前三個圓盤從A移動到C,而後圓盤4從A移動到B,前三個圓盤從C再移動到B.

　　可是上面的步驟能夠重複利用!例如將三個圓盤從A移動到C,那麼應該先將前兩個圓盤從A移動到B,而後將圓盤3從A移動到C,最後將前兩個圓盤從B移動到C.

　　持續簡化這個問題,最終咱們將只須要處理一個圓盤從一個塔座移動到另外一個塔座的問題.

　　java代碼實現:

 1 public class Moved {
 2     private static int count = 1;
 3     public static void main(String[] args) {
 4         moved(4, "第一根柱子", "第二根柱子", "第三根柱子");
 5     }
 6     
 7     /**
 8      * 
 9      * @param i  圓盤數量
10      * @param a  圓盤初始所在塔座
11      * @param b  圓盤將要移動到的塔座
12      * @param c     輔助圓盤移動的塔座
13      */
14     public static void moved(int i,String a,String b,String c){
15         if(i == 1){
16             disPaly(1, a, b);
17         }else{
18             //將i-1根圓盤由A移動到C
19             moved(i-1, a, c, b);
20             //將圓盤i 由A移動到B
21             disPaly(i, a, b);
22             //將i-1根圓盤由C移動到A
23             moved(i-1,c,b,a);
24         }
25     }
26     
27     public static void disPaly(int i,String a,String b){
28         System.out.println("第"+count+"步：移動第"+i+"個塔從"+a+"到"+b);
29         count++;
30     }
31 }

運行結果:

 1 第1步：移動第1個塔從第一根柱子到第三根柱子
 2 第2步：移動第2個塔從第一根柱子到第二根柱子
 3 第3步：移動第1個塔從第三根柱子到第二根柱子
 4 第4步：移動第3個塔從第一根柱子到第三根柱子
 5 第5步：移動第1個塔從第二根柱子到第一根柱子
 6 第6步：移動第2個塔從第二根柱子到第三根柱子
 7 第7步：移動第1個塔從第一根柱子到第三根柱子
 8 第8步：移動第4個塔從第一根柱子到第二根柱子
 9 第9步：移動第1個塔從第三根柱子到第二根柱子
10 第10步：移動第2個塔從第三根柱子到第一根柱子
11 第11步：移動第1個塔從第二根柱子到第一根柱子
12 第12步：移動第3個塔從第三根柱子到第二根柱子
13 第13步：移動第1個塔從第一根柱子到第三根柱子
14 第14步：移動第2個塔從第一根柱子到第二根柱子
15 第15步：移動第1個塔從第三根柱子到第二根柱子