LeetCode 刷題筆記 - 300. 最長上升子序列

難度：

中等

描述：

給定一個無序的整數數組，找到其中最長上升子序列的長度。

示例:

輸入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
輸出: 4 
解釋: 最長的上升子序列是 [2,3,7,101]，它的長度是 4。
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語言：

swift

解析：

這也是動態規劃比較基礎的一道題，咱們依舊按照基本解題思路來分析。 要求長度爲 n 的序列的最長上升子序列，首先分解爲子問題：

1. 求該序列長度爲 0 的序列的最長上升子序列
2. 求該序列長度爲 1 的序列的最長上升子序列
3. 求該序列長度爲 2 的序列的最長上升子序列
4. 求該序列長度爲 3 的序列的最長上升子序列
5. ...
6. 求該序列長度爲 n 的序列的最長上升子序列
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而後設置狀態方程，咱們設d(n)爲該序列長度爲n的時候的最長子序列長度，L[n]爲序列L的第n位元素。

先來看第一個問題：
1. 求該序列長度爲 0 的序列的最長上升子序列，顯而易見序列長度爲 0 的時候，最長子序列長度也爲 0 ，因此d(0) = 0。
第二個問題：
2. 求該序列長度爲 1 的序列的最長上升子序列的答案爲1，因此d(1) = 1。
3. 求該序列長度爲 2 的序列的最長上升子序列的狀況就有所不一樣了，咱們須要比較L[2]和L[1]的大小，若是L[2] > L[1]，則有d(2) = 2；若是L[2] < L[1]，則有d(2) = 1。
4. 求該序列長度爲 3 的序列的最長上升子序列的狀況會更加複雜，因爲L[1]和L[2]的最長子序列是已知的，咱們僅須要把L[3]分別同L[1]和L[2]比較，找到比L[3]小的。例如示例中，d(1) = 1, d(2) = 1, d(3) = 1。
5. 求該序列長度爲 4 的序列的最長上升子序列，同上一個子問題同樣，咱們發現L[3] < L[4]，因此d(4) = 2，抽象爲d(4) = d(3) + 1 = 1 + 1 = 2。
這個時候咱們同時須要考慮，若是第x位元素L[x]，在[1, x)區間內有y、z兩個元素小於L[x]，即L[y] < L[x]、L[z] < L[x]，那麼咱們須要找到d(y)和d(z)中比較大的，因此能夠抽象出方程：d(x) = max{d(y), d(z)} + 1。
因此在求解：
6. 求該序列長度爲 n 的序列的最長上升子序列的時候，咱們能夠抽象出狀態轉移方程：
d(i) = max{1, d(j) + 1}(j < i, L[j] < L[i])
咱們須要在遍歷每一個元素的時候，去尋找前面元素中的最長上升子序列。

自認爲表達的的還不是太好。。。能夠討論一下，我還會改進。

代碼以下：

class Solution {
    func lengthOfLIS(_ nums: [Int]) -> Int {
        if nums.count == 0 {
            return 0
        }
        var dict = [Int : Int]()
        var maxLength = 1
        dict[0] = 1
        for index in 0...nums.count - 1 {
            var length = 0
            if index - 1 < 0 {
                continue
            }
            for loopIndex in 0...index - 1 {
                if nums[loopIndex] < nums[index] && (dict[loopIndex] != nil) {
                    length = max(length, dict[loopIndex]!)
                }
            }
            dict[index] = length + 1
            maxLength = max(maxLength, dict[index]!)
        }
        return maxLength
    }
}
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總結

動態規劃頗有趣，要經過多練習才能熟悉。