JS實現堆排序

堆的預備知識

• 堆是一個徹底二叉樹。
• 徹底二叉樹： 二叉樹除開最後一層，其餘層結點數都達到最大，最後一層的全部結點都集中在左邊（左邊結點排列滿的狀況下，右邊才能缺失結點）。
• 大頂堆：根結點爲最大值，每一個結點的值大於或等於其孩子結點的值。
• 小頂堆：根結點爲最小值，每一個結點的值小於或等於其孩子結點的值。
• 堆的存儲： 堆由數組來實現，至關於對二叉樹作層序遍歷。以下圖：

對於結點 i ，其子結點爲 2i+1 與 2i+2 。

堆排序算法

如今須要對如上二叉樹作升序排序，總共分爲三步：

1. 將初始二叉樹轉化爲大頂堆（heapify）（實質是從第一個非葉子結點開始，從下至上，從右至左，對每個非葉子結點作shiftDown操做），此時根結點爲最大值，將其與最後一個結點交換。
2. 除開最後一個結點，將其他節點組成的新堆轉化爲大頂堆（實質上是對根節點作shiftDown操做），此時根結點爲次最大值，將其與最後一個結點交換。
3. 重複步驟2，直到堆中元素個數爲1（或其對應數組的長度爲1），排序完成。

下面詳細圖解這個過程：

步驟1：

初始化大頂堆，首先選取最後一個非葉子結點(咱們只須要調整父節點和孩子節點之間的大小關係，葉子結點之間的大小關係無需調整)。設數組爲arr，則第一個非葉子結點的下標爲：i = Math.floor(arr.length/2 - 1) = 1，也就是數字4，如圖中虛線框，找到三個數字的最大值，與父節點交換。

而後，下標 i 依次減1（即從第一個非葉子結點開始，從右至左，從下至上遍歷全部非葉子節點）。後面的每一次調整都是如此：找到父子結點中的最大值，作交換。

這一步中數字六、1交換後，數字[1,5,4]組成的堆順序不對，須要執行一步調整。所以須要注意，每一次對一個非葉子結點作調整後，都要觀察是否會影響子堆順序！

此次調整後，根節點爲最大值，造成了一個大頂堆，將根節點與最後一個結點交換。

步驟2：

除開當前最後一個結點6(即最大值)，將其他結點[4,5,3,1]組成新堆轉化爲大頂堆(注意觀察，此時根節點之外的其餘結點，都知足大頂堆的特徵，因此能夠從根節點4開始調整，即找到4應該處於的位置便可)。

步驟3：

接下來反覆執行步驟2，直到堆中元素個數爲1：

堆中元素個數爲1， 排序完成。

JavaScript實現

// 交換兩個節點
function swap(A, i, j) {
  let temp = A[i];
  A[i] = A[j];
  A[j] = temp; 
}

// 將 i 結點如下的堆整理爲大頂堆，注意這一步實現的基礎其實是：
// 假設 結點 i 如下的子堆已是一個大頂堆，shiftDown函數實現的
// 功能是其實是：找到 結點 i 在包括結點 i 的堆中的正確位置。後面
// 將寫一個 for 循環，從第一個非葉子結點開始，對每個非葉子結點
// 都執行 shiftDown操做，因此就知足告終點 i 如下的子堆已是一大
//頂堆
function shiftDown(A, i, length) {
  let temp = A[i]; // 當前父節點
// j<length 的目的是對結點 i 如下的結點所有作順序調整
  for(let j = 2*i+1; j<length; j = 2*j+1) {
    temp = A[i];  // 將 A[i] 取出，整個過程至關於找到 A[i] 應處於的位置
    if(j+1 < length && A[j] < A[j+1]) { 
      j++;   // 找到兩個孩子中較大的一個，再與父節點比較
    }
    if(temp < A[j]) {
      swap(A, i, j) // 若是父節點小於子節點:交換；不然跳出
      i = j;  // 交換後，temp 的下標變爲 j
    } else {
      break;
    }
  }
}

// 堆排序
function heapSort(A) {
  // 初始化大頂堆，從第一個非葉子結點開始
  for(let i = Math.floor(A.length/2-1); i>=0; i--) {
    shiftDown(A, i, A.length);
  }
  // 排序，每一次for循環找出一個當前最大值，數組長度減一
  for(let i = Math.floor(A.length-1); i>0; i--) {
    swap(A, 0, i); // 根節點與最後一個節點交換
    shiftDown(A, 0, i); // 從根節點開始調整，而且最後一個結點已經爲當
                         // 前最大值，不須要再參與比較，因此第三個參數
                         // 爲 i，即比較到最後一個結點前一個便可
  }
}

let Arr = [4, 6, 8, 5, 9, 1, 2, 5, 3, 2];
heapSort(Arr);
alert(Arr);

程序註釋： 將 i 結點如下的堆整理爲大頂堆，注意這一步實現的基礎其實是：假設 結點 i 如下的子堆已是一個大頂堆，shiftDown函數實現的功能是其實是：找到 結點 i 在包括結點 i 的堆中的正確位置。後面作第一次堆化時，heapSort 中寫了一個 for 循環，從第一個非葉子結點開始，對每個非葉子結點都執行 shiftDown操做，因此就知足了每一次 shiftDown中，結點 i 如下的子堆已是一大頂堆。

複雜度分析：adjustHeap 函數中至關於堆的每一層只遍歷一個結點，由於
具備n個結點的徹底二叉樹的深度爲[log2n]+1，因此 shiftDown的複雜度爲 O(logn)，而外層循環共有 f(n) 次，因此最終的複雜度爲 O(nlogn)。

堆的應用

堆主要是用來實現優先隊列，下面是優先隊列的應用示例：

• 操做系統動態選擇優先級最高的任務執行。
• 靜態問題中，在N個元素中選出前M名，使用排序的複雜度：O(NlogN)，使用優先隊列的複雜度: O(NlogM)。

而實現優先隊列採用普通數組、順序數組和堆的不一樣複雜度以下：

使用堆來實現優先隊列，可使入隊和出隊的複雜度都很低。