【數據結構】數據結構中經常使用的樹

一、樹的定義

首先給出樹的相關定義：樹（tree）是包含n（n>0）個結點的有窮集，其中：

• 1）每一個元素稱爲結點（node）；
• 2）有一個特定的結點被稱爲根結點或樹根（root）；
• 3）除根結點以外的其他數據元素被分爲m（m≥0）個互不相交的集合T1，T2，……Tm-1，其中每個集合Ti（1<=i<=m）自己也是一棵樹，被稱做原樹的子樹。

二、樹的相關術語

• 節點的度：一個節點含有的子樹的個數稱爲該節點的度；
• 葉節點或終端節點：度爲0的節點稱爲葉節點；
• 非終端節點或分支節點：度不爲0的節點；
• 雙親節點或父節點：若一個節點含有子節點，則這個節點稱爲其子節點的父節點；
• 孩子節點或子節點：一個節點含有的子樹的根節點稱爲該節點的子節點；
• 兄弟節點：具備相同父節點的節點互稱爲兄弟節點；
• 樹的度：一棵樹中，最大的節點的度稱爲樹的度；
• 節點的層次：從根開始定義起，根爲第1層，根的子節點爲第2層，以此類推；
• 樹的高度或深度：樹中節點的最大層次；
• 堂兄弟節點：雙親在同一層的節點互爲堂兄弟；
• 節點的祖先：從根到該節點所經分支上的全部節點；
• 子孫：以某節點爲根的子樹中任一節點都稱爲該節點的子孫。
• 森林：由m（m>=0）棵互不相交的樹的集合稱爲森林；

三、二叉樹

二叉樹的定義：

• 二叉樹的每一個結點至多隻有二棵子樹(不存在度大於2的結點)，
• 二叉樹的子樹有左右之分，次序不能顛倒。
• 二叉樹的第i層至多有2i-1個結點；深度爲k的二叉樹至多有2k-1個結點；
• 對任何一棵二叉樹T，若是其終端結點數爲n0，度爲2的結點數爲n2，則n0=n2+1。

3.1 要點

遍歷：先序遍歷，中序遍歷，後序遍歷。 非遞歸算法：用棧。 深度遍歷算法：鏈表。

四、滿二叉樹

一棵深度爲k且有2k-1（2的k次冪減1）個結點的二叉樹稱爲滿二叉樹。

五、徹底二叉樹

深度爲k的，有n個結點的二叉樹，當且僅當其每個結點都與深度爲k的滿二叉樹中編號從1至n的結點一一對應時，稱之爲徹底二叉樹。

六、二叉排序樹

二叉查找樹定義：又稱爲是二叉排序樹（Binary Sort Tree）或二叉搜索樹。二叉排序樹或者是一棵空樹，或者是具備下列性質的二叉樹：

• 1. 若它的左子樹不空，則左子樹上全部結點的值均小於它的根結點的值；
• 2. 若它的右子樹不空，則右子樹上全部結點的值均大於或等於它的根結點的值；
• 3. 它的左、右子樹也分別爲二叉排序樹。

七、平衡二叉樹

平衡二叉樹（Balanced Binary Tree）又被稱爲AVL樹。它或者是一棵空樹，或者是具備下列性質的二叉樹：它的左子樹和右子樹都是平衡二叉樹，且左子樹和右子樹的深度之差的絕對值不超過1。（注：平衡二叉樹應該是一棵二叉排序樹）

注意點

平衡二叉樹的調整

八、B樹

B樹又稱爲B-樹，是一種平衡的多路查找樹。B-樹的階是全部結點的孩子結點樹的最大值。一棵m階B-樹，或爲空樹，或爲知足下列特性的m叉樹：

• 1）樹中每一個結點至多有m棵子樹；
• 2）若根節點不是葉子節點，則至少有兩棵子樹；
• 3）除根以外的全部非終端結點至少有[m/2]（）向上取整）棵子樹；
• 4）全部的非終端結點中包含下列信息數據：（n，A0，K1，A1，K2，A2，…，Kn，An），其中，n爲結點中的關鍵字樹，A爲指向子樹根結點的指針，K爲關鍵字，且Ai-1所指子樹中全部結點的關鍵字均小於Ki，An所指子樹中全部結點的關鍵字均大於Kn；
• 5）全部的葉子結點都出如今同一層次上，而且不帶信息（能夠看做是外部結點或查找失敗的結點，實際上這些結點不存在，指向這些結點的指針爲空）。下圖爲一棵4階B-樹：

九、B+樹

B+樹是應文件系統所需而出的一種B-樹的變型樹。一棵m階B+樹和m階的B-樹的差別在於：

• 1）有n棵子樹的結點中含有n個關鍵字，每一個關鍵字不保存數據，只用來索引，全部數據都保存在葉子節點；
• 2）全部的葉子結點中包含了所有關鍵字的信息，及指向含這些關鍵字記錄的指針，且葉子結點自己依關鍵字的大小自小而大順序連接；

十、紅黑樹

一棵紅黑樹是知足下面性質的二叉搜索樹：

• 1）每一個結點或是紅色的，或是黑色的；
• 2）根結點是黑色的；
• 3）每一個葉結點（葉結點即指樹尾端NIL指針或NULL結點）是黑的；
• 4）若是一個結點是紅色的，則它的兩個子結點都是黑色的；
• 5）對每一個結點，從該結點到其全部後代葉結點的簡單路徑上，均包含相同數目的黑色結點。

十一、鍵樹

十二、字典樹

1三、後綴樹

1四、區間樹與線段樹

1五、敗者樹與勝者樹

連接

數據結構中各類樹