浮點數

因爲進制的關係，十進制下的大多數小數，在二進制下沒法完美的表示，只能表示爲無限循環小數。

好比0.5能夠表示爲0.1,0.4則只能表示爲0.011001100110......

十進制小數轉換成二進制小數的方法，能夠經過對小數部分乘2法來實現，

好比：0.4

0.4   *2    0.8

0.8   *2    1.6

0.6   *2    1.2

0.2   *2    0.4

取乘積的整數部分，獲得，0.0110的無限循環。

還有一種方法就是把0.4看出2/5即2除以5,即10/101，經過除法運算也能夠獲得相同的值。

所以計算機有限的內存註定沒法表示無限的循環小數，只能使用近似值代替。32位和64位的表示方法以下：

其中階碼的值用移碼錶示，移碼是符號位取反的補碼，[X]移與[X]補的關係是符號位互爲相反數（僅符號位不一樣）。

還須要注意的是，該階碼值須要減去偏移值127後纔是正真的指數值，偏移值一般爲2^e-1 - 1，其中的e爲階碼的長度。以單精度浮點數爲例，它的指數域是8個比特，固定偏移值是2^8-1 - 1 = 128?1 = 127

在表示浮點數的時候，咱們老是確保最高位是1，若是是0的話，則乘以2^n，即左移n位變成1。

所以23位的尾數能夠表示24位有效數字。這種簡化浮點數表示的操做稱之爲規格化。規格化後的數據都是以下格式

±1.xxxxxx*2^E

1.1010001*2^10100 表示成32位時，階碼須要加上127

 0001 0100

+0111 1111

——————

 1001 0011

所以，當浮點數是正數的時候，最小值的編碼以下:

階碼爲0-127=127，小數部分爲1，所以該值表示 2^-127

階碼爲255-127=128，小數部分爲1.11111111111111111111111（正數部分爲1,小數部分23個1），所以該值表示 (2-2^-23)*2^128

1.11111111111111111111111=2-2^-23,這個等式讓我一開始也愣了下，想了下有多種方式證實。

1.11111111111111111111111=2^0+2^-1+2^-2+2^-3+2^-4………………+2^-22+2^-23

等比數列求和公式    

a1=1，q=1/2， n=24

所以最終的結果等於2-2^-23

   

還有一種計算方式

1.11111111111111111111111=10-0.000000000000000000000001

二進制表示即爲2-2^-23

同理，最高位若是改爲1的話，表示負數。所以浮點數的取值範圍爲：

[- (2-2^-23)*2^128，-2^-127] 和 [2^-127， (2-2^-23)*2^128] 換算成十進制則爲  

如該數軸的顯示，其餘區域將會致使溢出。實際上，這個浮點數在數軸上並非連續的，只能是一個十分接近的近似值，但這個近似值已足夠知足通常的應用了。

上述浮點數的表示只是一種一般的解釋方式，實際使用中有會有部分改進，好比上述的浮點數無法表示真正的0。

目前使用最普遍的浮點數的表示方法是IEEE 754標準所定義的，該標準定義了32位單精度和64位雙精度。

IEEE754標準定義了一些特殊值。以下圖所示，摘自維基百科

逐行解釋：

1.正零和負零，除去符號位，全部的數都爲0的狀況，認爲是±0。這個0是一個精確值。

2.當指數是0111 1111=127時，減去偏移量127，即實際指數爲0，尾數全零，默認的小數點前的數字是1，因此這種狀況認爲是±1.0

3.當指數域爲0，尾數位非0時，認爲是非規格化的數。規格化的數字，默認認爲小數點前是1，而非規格化的數字，默認認爲小數點前的數字是0。

  而且，當數字是非規格化時，規定偏移量比原先大1，變成了-126。

4.指數域不爲0，爲規格化的數字，此時尾數域默認小數點前的數字是1，最小的規格化的數字的實際指數爲1-127=-126，即最小的規格化數字爲±2^-126

5.指數最大不能爲255，255爲保留值，只能是254，所以，實際指數值爲254-127=127。最大的規格化的數字即1.11111111111111111111111(二進制)^127

6.指數域全1，尾數域全0，表示正負無窮。

7.指數域全1，尾數域不爲0，是非法的浮點數。

以上規則，總結以下：

形式	指數	小數部分
零	0	0
非規約形式	0	非0
規約形式	1-254	任意
無窮	255	0
NaN	255	非零

引入非規約形式的浮點數是頗有必要的有效可使用的，只是它們的絕對值已經小於全部的規約浮點數的絕對值；即全部的非規約浮點數比規約浮點數更接近0。

它填補了一部分空隙，使得數字更均勻覆蓋數軸，非規格化數字的使用，稱之爲逐級下溢，若是不採用這種方式，那麼絕對值最小的規約浮點數與0的距離是相鄰的小浮點數之間距離的2^23倍！能夠說是很是忽然的下溢出到0。這種狀況的一種糟糕後果是：兩個不等的小浮點數X與Y相減，結果將是0.

根據以前列出的IEEE754中的一些特殊值，能夠看出，32位浮點數值的取值範圍-3.4 × 10^38 到 +3.4 × 10^38

參考資料

《計算機組成與體系結構》

https://zh.wikipedia.org/wiki/IEEE_754