IEEE754浮點數

前言

　　Go語言之父Rob Pike大神曾吐槽：不能掌握正則表達式或浮點數就不配當碼農！

　　You should not be permitted to write production code if you do not have an journeyman license in regular expressions or floating point math.

　　此前使用Java寫Spark SQL業務時，也有遇到浮點數比較問題即x>70的記錄行竟然出現了70的記錄，儘管SQL作了類型轉換再比較也無濟於事....

　　所以瞭解浮點數是頗有必要的喲~~

什麼是浮點數

　　電氣和電子工程師協會IEEE對於計算機浮點數的存儲、運算、表示等推出了IEEE754標準！

　　標準中規定：

　　　　float32位單精度浮點數在機器中表示用 1 位表示數字的符號，用 8 位表示指數，用 23 位表示尾數。

　　　　double64位雙精度浮點數，用 1 位表示符號，用 11 位表示指數，52 位表示尾數。

　　　　其中指數域也稱爲階碼。浮點數存儲字節定義如圖：

　　       

浮點數正規化

　　尾數不爲0時，尾數域的最高有效位爲1，這稱爲規格化。不然，以修改階碼同時左右移動小數點位置的辦法，使其成爲規格化數的形式。

　　浮點數x真值表示：

　　x=(−1)^S×(1.M)×2^e

　　float：　　　　e=E−127

　　double：　　   e=E−1023　

• S  符號位　　  0表示正 1表示負
• e  指數位  　　階碼E減去移碼
• M 尾數位  　　二進制形式移碼

移碼

　　移碼是真值補碼的符號位取反，通常用做浮點數的階碼，目的是便於浮點數運算時的對階操做。

　　對於定點整數，計算機通常採用補碼的來存儲。

　　正整數的符號位爲0，反碼和補碼等同於原碼。

　　負整數符號位都爲1，原碼，反碼和補碼的表示都不相同，由負數原碼錶示法變成反碼和補碼有以下規則：
　　（1）原碼符號位爲1不變，整數的每一位二進制數位求反得反碼；
　　（2）反碼符號位爲1不變，反碼數值位最低位加1得補碼。

　　　好比，以一個字節來表示-3，那麼[−3]原=10000011 [−3]反=11111100 [−3] 補=11111101  [−3]移=01111101

　　

舉個栗子

【3.14的單精度浮點數表示】

首先將3.14轉成二進制:

整數部分3的二進制是11

小數部分0.14的二進制是：0.0010001111010111000010[10001111.....]（方括號中表示小數點後第23位及以後）

這樣，3.14的二進制代碼就是：11.0010001111010111000010[10001111....]×2⁰

那麼用正規化表示就是：1.10010001111010111000010[10001111....]×2¹

方括號表示的超出23位以後的二進制部分，因爲單精度浮點數尾數只有23位，因此須要舍入（舍入方法見後）

因爲第24位爲1，且以後 不全爲 0，因此須要向第23位進1完成上舍入：1.10010001111010111000011×2¹

而其指數是1，須要加上移碼127，即128，也就是1000 0000

它又是正數，因此符號爲0

綜上所述，3.14的單精度浮點數表示爲：
0 1000-0000 1001-0001-1110-1011-1000-011

S符號位    0 

e指數位　1000-0000

M尾數位  1001-0001-1110-1011-1000-011

十六進制代碼爲：0x4048F5C3

偏差

　　經過栗子可知，3.14的單精度浮點數表示是0 1000-0000 1001-0001-1110-1011-1000-011。如今咱們來還原，看看它的偏差：

　　指數是128，那麼還原回去（減去移碼），實際指數就是1

　　尾數還原也就是：10010001111010111000011，因此正規化形式是：1.10010001111010111000011×2¹

　　也就是11.0010001111010111000011

　　利用二進制轉十進制，可得它對應的十進制數是：3.1400001049041748046875  不等於3.14

　　這就是爲何浮點數運算結果在業務代碼中老是不可確切預期的緣由！！！！

機器ε

　　機器ε表示1與大於1的最小浮點數之差。例如雙精度表示1和表示大於1的最小浮點數

　　

　　

　　雙精度浮點數的機器ε = 2^-52 ≈ 2.220446049250313e-16

　　同理，單精度的機器ε = 2^-23 ≈ 1.1920928955078125e-7

　　在舍入規則中，相對舍入偏差不能大於機器ε的一半。

非正規化

　　  單精度浮點數爲例

　　（1）0的表示

　　　　對於階碼爲0或255的狀況，IEEE754標準有特別的規定：

　　　　若是 階碼E=0而且尾數M是0，則這個數的真值爲±0（正負號和數符位有關）。

　　　　+0的機器碼爲：0 00000000 000 0000 0000 0000 0000 0000

　　　　-0的機器碼爲：1 00000000 000 0000 0000 0000 0000 0000

　　　　須要注意一點，浮點數不能精確表示0，而是以很小的數來近似表示0。由於浮點數的真值等於

　　　　x=(−1)^S×(1.M)×2^e 

　　　　e=E−127

　　　　那麼

　　　　+0的機器碼真值爲  1.0×2⁻¹²⁷ 

-0機器碼真值爲  −1.0×2⁻¹²⁷

　　（2）無窮的表示
　　　　若是階碼E=255 而且尾數M全是0，則這個數的真值爲±∞（一樣和符號位有關）。

　　　　所以

　　　　+∞的機器碼爲：0 11111111 000 0000 0000 0000 0000 0000

　　　　-∞的機器嗎爲：1 11111111 000 0000 0000 0000 0000 0000

　　（3）NaN（Not a Number）
　　　　若是 E = 255 而且 M 不全是0，則這不是一個數（NaN）。

舍入規則

　　以23位尾數位的單精度浮點數爲例，舍入時須要重點參考第24位

　　若第24位爲1，且第24位以後所有爲0。此時就要使第23位爲0：若第23位原本就是0則無論，若第23位爲1，則第24位就要向第23位進一位，這樣第23位就能夠爲0

　　若第24位爲1，且第24位以後不全爲0，則第24位就要向第23位進一完成上舍入。

　　若第24位爲0，此時直接捨去不進位，稱爲下舍入。

再來個栗子

JavaScript console 雙精度浮點數

>>9.4 - 9 - 0.4 === 0
<<false
>>(9.4-9-0.4).toFixed(20)
<<"0.00000000000000033307"

9.4-9-0.4不嚴格等於0，其運算結果偏差。

由於按照上面的浮點數知識可知

9.4在機器內被表示爲：9.4+0.2×2^-49

0.4被表示爲：0.4+0.1×2^-52

當9.4-9時（由於9是整數是能夠精確存儲的）得0.4+0.2×2^-49，再減去0.4+0.1×2^-52得3×2^-53，約等於"0.00000000000000033307"。

 

詳細解釋：

9的二進制是1001，而0.4的二進制是0.0110-0110-0110-……無限循環的。從而9.4的二進制是1001.0110-0110……，正規化之後就變成 1.001-0110-0110-……×2^³，

由於雙精度浮點數是52位尾數，因此小數部分保留0.001-0110-0110-……-0110-0 [110-0110-0110-……]。即001後跟12個0110循環節，而後第52位是0，中括號表示從

第53位起開始捨棄的部分。根據我提到的舍入規則，第53位1且後面不全爲0，要向第52位完成上舍入，因此小數部分就變成 0.001-0110-0110-……-0110-1。至此咱們

能夠看到，這個數較之9.4，因爲小數部分第52位由0變爲1，因此多加了2^-52，可是由於從小數部分第53位開始捨棄了，捨棄部分是 0.1100-1100-…×2^-52 = 0.8×2^-52。

因此咱們多加了2^-52，可是少了0.8×2^-52，這就意味着，但考慮尾數部分，這個數比9.4多了 2^-52 - 0.8×2^-52 = 0.2×2^-52，別忘記以前還有一個2^3，因此整

體多了0.2×2^-52×2^³ = 0.2×2^-49

這就是爲何9.4在機器內被表示爲：9.4+0.2×2^-49

同理，0.4在機器內被表示爲：0.4+0.1×2^-52