控制系統的帶寬與二階系統的簡單定性理解

先上自動控制原理上面的定義：

　　當控制系統的幅頻特性降低到比零頻率幅值低3dB時，所對應的頻率爲帶寬頻率，簡稱帶寬。

　　系統的帶寬反應了系統響應的快速性，也反映了對輸入信號的復現能力。帶寬大，系統的響應越快咯，可是帶寬過寬，那麼現實世界中的噪聲會引入系統，形成不利影響。

這麼說也許過於抽象，不知諸位看客是否想過爲何奈奎斯特穩定判據和對數穩定判據是研究單環系統的開環傳遞函數的特性呢？研究開環系統的幅頻特性爲何是有必要的呢？

　　由於開環傳函影響的是系統的反饋特性！

　　由於開環傳函影響的是系統的反饋特性！

　　由於開環傳函影響的是系統的反饋特性！

　　重要的事情就難免俗地說三遍啦。

　　對於正弦信號而言，開環傳遞函數的幅頻特性實際上反映的是反饋回來的信號的放大倍數（也多是縮小）和相角延遲。這個和系統的穩定性有着密切的關係。若是反饋回來的信號爲-180°，而且增益也比較大（大於等於1），那麼系統就天然不會穩定。然而在實際系統中，因爲功率（能量）的限制，噪聲的影響，自激振盪這種典型的不穩定狀態就很好解釋了。請見下面的例子。

 

　　系統截止頻率對應的相角與-180°相差的度數成爲相角裕度，爲什麼？由於假若系統截止頻率處的相移爲-180°，則系統將處於自激振盪狀態。舉個簡單的例子：前向通道和反饋通道分別爲積分環節，則有

 

>> fw = tf(1 , [1 , 0]);
>> fd = fw ;
>> sys = feedback(fw , fd );
>> impulse(sys)

 

　　結果如上圖所示，系統的響應爲以截止頻率振盪的正弦波，由於存在脈衝輸入能量，纔可以使系統產生輸出。在實際物理電路系統中，存在電源和噪聲，在這種正反饋機制下，很容易就產生了自激振盪，而又受制於實際功率和電壓幅值的影響，系統的輸出不可能爲無窮大，從而能夠用於固定頻率等幅振盪信號的產生。

　　再來簡單定性分析一下二階系統的響應特性：

　　系統：2/(s²+2s+2)——注意到這裏分子爲2，爲了保證閉環增益相同嘛。

　　該系統存在兩個輻角各位135°和225°的極點，至關於在系統的快速性和響應振盪性兩個性質之間作了必定的折衷考慮，因此雖然存在超調，可是穩定的速度也比較快：

 

　　系統：1/(s²+0.1s+1)

　　該系統的兩個極點的複數份量相對於實部份量大得多，因此振盪比較厲害。

　　系統：1/(s²+1)

　　該系統只有兩個相同的極點，因此不存在振盪，慢慢地趨近穩態值。

　　說到這裏就不得不提阻尼比這個概念了，我猜這個概念的實際意義就是穩態份量相比于振蕩份量的一個參考比，且阻尼比大於等於1時基本上就沒有振盪份量的事兒了。固然這只是定性分析。

　　注：以上伯德圖是閉環系統的哦，不是系統的開環幅頻特性，我比較懶，就沒改了。