最大堆、最小堆操做-刪除、

最大堆/最小堆

　堆的定義是：n個元素的序列{k₁,k₂,…,k_n}，當且僅當知足以下關係時被成爲堆

　　 　(1)K_i <= k_2i 且 k_i <= k_2i-1        

　　或 (2) K_i >= k_2i 且 k_i >= k_2i-1 

　　　　　　　　　　(i = 1,2,…[n/2])

當知足(1)時，爲最小堆，當知足(2)時，爲最大堆。

 

　　若將此序列對應的一維數組堪稱是一個徹底二叉樹，則2i和2i+1個節點分別是節點i的左右子節點。

以下爲一個最大堆：

 

下面以最小堆爲例說明堆的輸出：

 

　　圖1爲一個最小堆，當最小節點根節點13輸出後，將最後一個節點97做爲根節點，移到頂端，如圖2. 而後要對堆進行調整。比較此徹底樹的根節點與其兩個子節點大小，由於27 < 38 < 97，因此27是三個節點裏最小的，將節點27與根節點97交換。此時以97替代27而產生的右子樹爲一個新的堆，再以97爲根節點，對此最小堆進行調整，同理，知道要將97與49交換，獲得圖3的徹底樹。此時以97代替49爲根節點的右子樹爲一個新堆，再對此堆作一樣的操做，由於此徹底樹已是最小堆，因此能夠中止操做，堆的調整完畢。此時再將根節點，對的最小值輸出，並進行一樣的調整，能夠獲得如圖4的新堆。這個過程被稱爲「篩選」。

 

一樣以最小堆說明堆的初始化：

　　從一個無序序列初始化爲一個堆的過程就是一個反覆「篩選」的過程。由徹底二叉樹的性質能夠知，一個有n個節點的徹底二叉樹的最後一個非葉節點是節點[n/2]，堆的初始化過程就從這個[n/2]節點開始。上圖爲以下無序數組的初始化：

　　　　{49,38,65,97,76,13,27,50}

　　首先，未處理的數組對應的堆爲圖1模樣。從第四個節點開始（[8/2]=4），由於50 < 97，故要交換兩節點，交換後還要繼續對其新的左子樹進行相似輸出後那樣的篩選。易見其左子樹只有節點97，已經爲最佳狀況，故能夠繼續堆的初始化，如圖2。再考慮第三個節點，由於13 < 27 < 65，即節點13爲當前的最小節點，故與節點65交換，並對新的左子樹進行篩選，其也爲最佳狀況，故可繼續堆的初始化，結果如圖3。而後考慮第二個節點，由於38 < 50 < 76，故已經爲最優狀況，不用調整。最後再考慮第一個節點，根節點。由於 13 < 38 < 49，故須要將根節點49與其右孩子節點13交換，交換後還要繼續對其新的右子樹進行相似輸出後那樣的篩選，可見右子樹還須要調整，由於 27 < 49 < 65,故將節點49與節點27交換。此時已經處理完了根節點，初始化結束。最終結果如圖5.