數學分析筆記3：函數的極限

函數極限的定義與性質

定義3.1 (1) $f(x)$在 $x_0$的某個去心鄰域上有定義，若存在實數 $A$，對任意的 $\varepsilon>0$，存在正數 $\delta>0$，當 $0<|x-x_0|<\delta$時，都有 $|f(x)-A|<\varepsilon$則稱函數 $f(x)$在 $x_0$處極限存在，A是 $f(x)$在 $x_0$處的極限，記爲 $\lim_{x\to{x_0}}{f(x)}=A$
(2)若是對任意的正數 $M>0$，存在正數 $\delta>0$，當 $0<|x-x_0|<\delta$時，有 $f(x)>M(<-M)$則稱函數 $f(x)$是 $x_0$處的正(負)無窮大量，記爲 $\lim_{x\to{x_0}}{f(x)}=+\infty(-\infty)$
(3)若是 $|f(x)|$是 $x_0$處的正無窮大量，則稱 $f(x)$是 $x_0$處的無窮大量

除了定義某個點的極限，還能夠定義趨於無窮的極限
定義3.2 (1) $f(x)$在 $(a,+\infty)((-\infty,a))$上有定義，若存在實數 $A$，對任意的 $\varepsilon>0$，存在正數 $M>0$，當 $x>M(<-M)$時，都有 $|f(x)-A|<\varepsilon$則稱函數 $f(x)$在 $x\to +\infty(\to -\infty)$的過程極限存在，A是 $f(x)$在過程 $x\to +\infty(\to -\infty)$的極限，記爲 $\lim_{x\to +\infty}{f(x)}=A(\lim_{x\to -\infty}{f(x)}=A)$
(2)若是對任意的正數 $M>0$，存在正數 $M_2>0$，當 $x>M_2(x<-M_2)$時，都有 $|f(x)|\ge M$則稱函數 $f(x)$是 $x\to +\infty(\to -\infty)$過程的正無窮大量，記爲 $\lim_{x\to +\infty}{f(x)}=+\infty(\lim_{x\to -\infty}{f(x)}=+\infty)$
(3)若是對任意的正數 $M>0$，存在正數 $M_2>0$，當 $x>M_2(x<-M_2)$時，都有 $|f(x)|\le -M$則稱函數 $f(x)$是 $x\to +\infty(\to -\infty)$過程的負無窮大量，記爲 $\lim_{x\to +\infty}{f(x)}=-\infty(\lim_{x\to -\infty}{f(x)}=-\infty)$
(4)若是 $|f(x)|$是 $x\to +\infty(\to -\infty)$過程的正無窮大量，則稱 $f(x)$是 $x\to +\infty(\to -\infty)$過程的無窮大量

這樣，對函數而言，有三種趨近過程，若是考慮廣義極限，還有三種極限（有限實數、正負無窮），三種過程有三種無窮小量，三種無窮大量，這是和數列極限的區別。下面咱們考慮收斂於有限實數的情形，咱們統一記成 $\lim{f(x)}$，統一給出性質，固然，這些性質的證實和數列情形是相似的，這裏咱們就不給出具體的證實過程。
定理3.1
(1)函數極限是惟一的
(2)(局部有界性)函數 $f(x)$在某個過程的極限存在，那麼在某個時刻以後函數是有界的
(3)(不等式性質)函數 $f(x)$和 $g(x)$在某個過程的極限存在，而且存在某個時刻，在該時刻以後，有 $f(x)\le{g(x)}$，則 $\lim{f(x)}\le\lim{g(x)}$
(4)(不等式性質2)函數 $f(x)$和 $g(x)$在某個過程的極限存在，而且 $\lim{f(x)}<\lim{g(x)}$，則存在某個時刻，在該時刻以後，有 $f(x)<{g(x)}$
(5)(局部保號性1)函數 $f(x)$在某個過程的極限存在，在某個時刻以後，有 $f(x)\le 0(\ge 0)$，則 $\lim{f(x)}\le 0(\lim{f(x)}\ge 0)$
(6)(局部保號性2)函數 $f(x)$在某個過程的極限存在， $\lim{f(x)}> 0(\lim{f(x)}< 0)$，則在某個時刻以後，有 $f(x)> 0(<0)$
(7)函數極限的四則運算性質都成立
(8)(夾逼準則)函數 $f(x)$和 $g(x)$在某個過程的極限都等於 $A$，而且在該過程的某個時刻以後，都有 $f(x)\le h(x) \le g(x)$，則 $h(x)$在該過程的極限存在，而且 $\lim{h(x)}=A$

所謂某個時刻，咱們能夠列表加以說明

過程	"在某個時刻以後"的含義
$\lim_{x\to x_0}$	$\exist \delta>0$,當 $0<$| $x-x_0$| $<\delta$時
$\lim_{x\to +\infty}$	$\exist M>0$,當 $x>M$時
$\lim_{x\to -\infty}$	$\exist M>0$,當 $x<-M$時
$\lim_{x\to \infty}$	$\exist M>0$,當 $x>$| $x$|時

無窮小量和無窮大量也有相似的性質
定理3.2
(1) $f(x)$是某個過程的無窮小量， $g(x)$是該過程當中某個時刻以後的有界變量，則 $f(x)g(x)$是該過程的無窮小量
(2) $\lim{f(x)}=A$的充要條件是 $f(x)-A$是該過程的無窮小量
(3) $f(x)$是該過程的無窮小量的充分必要條件是 $\frac{1}{f(x)}$是該過程的無窮大量
(4) $f(x)$是某個過程的無窮大量(正無窮大量、負無窮大量)， $g(x)$是該過程當中某個時刻以後的有界變量，則 $f(x)\pm g(x)$是該過程的無窮大量(正無窮大量、負無窮大量)
(5) $f(x)$是某個過程的無窮大量，存在正數 $m>0$， $g(x)$在該過程的某個時刻以後知足 $|g(x)|>m$，則 $f(x)g(x)$是該過程的無窮大量
(6)兩個正(負)無窮大量的和仍是正(負)無窮大量
(7)正(負)無窮大量和負(正)無窮大量的差是正(負)無窮大量

下面，咱們對函數極限的無窮大量和無窮小量的階做一個統一的定義：
定義3.3
$f(x)$和 $g(x)$是某個過程的兩個無窮小量
(1)若是 $\lim{\frac{f(x)}{g(x)}}=0$，則稱 $f(x)$是 $g(x)$的高階無窮小，記爲 $f(x)=o(g(x))$
(2)若是 $\lim{\frac{f(x)}{g(x)}}=A\neq 0$，則稱 $f(x)$和 $g(x)$是同階無窮小
(3)若是 $\lim{\frac{f(x)}{g(x)}}=1$，則稱 $f(x)$和 $g(x)$是等價無窮小

做爲函數極限的例子，咱們來證實一個重要的極限：
例3.1 $\lim_{x\to 0}{\frac{\sin(x)}{x}}=1$

證：
實際上，由幾何關係，在 $0<x<\frac{\pi}{2}$時，有 $\sin(x)<x<\tan(x)$在三角形 $\triangle ABC$中， $|BC|=\sin(x) < |AB|$,而兩點之間線段最短，所以 $|AB|$又比弧長 $x$小，所以，有 $\sin(x)<x$，而扇形的面積小於 $\triangle OAD$的面積，就直接有 $x<\tan(x)$爲了應用夾逼準則，咱們還要證實 $\lim_{x\to 0}{\cos(x)}=1$考察 $|\cos{x}-1|=|2\sin(\frac{x}{2})^2|\le{\frac{x^2}{2}}$
再由夾逼準則，有 $\lim_{x\to 0}{\cos(x)}=1$同時，有如下不等式 $\frac{1}{\cos{x}} < \frac{\sin{x}}{x} < 1$（注意到 $\frac{\sin{x}}{x}$是偶函數)
再應用夾逼準則能夠證得結論

在這裏，咱們再引入兩個極限過程：
定義3.4
(1) $f(x)$在 $x_0$的某個右(左)半去心鄰域有定義，若是存在實數 $A$，對任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，對任意的 $x\in(x_0,x_0+\delta)(x\in(x_0-\delta,x_0))$，都有 $|f(x)-A|<\varepsilon$，則稱 $f(x)$在 $x_0$處的左(右)極限存在，記爲 $\lim_{x\to {x_0}^{+}}{f(x)}=A(\lim_{x\to {x_0}^{-}}{f(x)}=A)$ (2) $f(x)$在 $x_0$的某個右(左)半去心鄰域有定義，若是對任意的正數 $M>0$，存在正數 $\delta>0$，對任意的 $x\in(x_0,x_0+\delta)(x\in(x_0-\delta,x_0))$，都有 $f(x)>M$，則稱 $f(x)$是 $x\to {x_0}^{+}(x\to {x_0}^{-})$過程的正無窮大量，記爲 $\lim_{x\to {x_0}^{+}}{f(x)}=+\infty(\lim_{x\to {x_0}^{-}}{f(x)}=+\infty)$(3) $f(x)$在 $x_0$的某個右(左)半去心鄰域有定義，若是對任意的正數 $M>0$，存在正數 $\delta>0$，對任意的 $x\in(x_0,x_0+\delta)(x\in(x_0-\delta,x_0))$，都有 $f(x)<-M$，則稱 $f(x)$是 $x\to {x_0}^{+}(x\to {x_0}^{-})$過程的正無窮大量，記爲 $\lim_{x\to {x_0}^{+}}{f(x)}=-\infty(\lim_{x\to {x_0}^{-}}{f(x)}=-\infty)$

對左右極限，前面的定理都是成立的，形式也是相似的，這裏就不一一列出
實際上，左右極限是逼近某個點的兩個方向，那麼，若是在某個點的極限存在，那麼理所應當地，不管以何種方式逼近這個點，極限都應當是相同的，就有以下定理：
定理3.3 $f(x)$在 $x_0$處極限等於 $A$的充分必要條件是 $f(x)$在 $x_0$處的左右極限都等於 $A$

證實是容易的，這裏省略

函數極限也有相應地單調收斂定理，證實和數列極限是相似的，咱們這裏僅列出，證實過程省略
定理3.4
(1)若是存在 $\delta>0$, $f(x)$在 $(x_0,x_0+\delta)$上單調上升(單調降低)而且有下界(有上界)，則 $f(x)$在 $x_0$出的右極限存在
(2)若是存在 $\delta>0$, $f(x)$在 $(x_0-\delta,x_0)$上單調上升(單調降低)而且有上界(有下界)，則 $f(x)$在 $x_0$出的左極限存在
(3)若是 $f(x)$在實軸上單調上升有上界，則 $\lim_{x\to +\infty}{f(x)}$存在
(4)若是 $f(x)$在實軸上單調上升有下界，則 $\lim_{x\to -\infty}{f(x)}$存在

函數極限與數列極限的關係

前面談到：函數在某個過程的極限存在，那麼，不管以何種路徑實現該過程 ，都應當只有惟一的極限，這一個路徑在實軸上就體現爲點列。
定理3.5 A爲有限實數或正負無窮
(1) $f(x)$在 $x_0$處的右極限爲 $A$的充分必要條件是:對任意的點列 $\{x_n\}$， $x_n > x_0$， $\lim_{n\to \infty}{x_n}=x_0$，都有 $\lim_{n\to\infty}{f(x_n)}=A$(2) $f(x)$在 $x_0$處的左極限爲 $A$的充分必要條件是:對任意的點列 $\{x_n\}$， $x_n < x_0$， $\lim_{n\to \infty}{x_n}=x_0$，都有 $\lim_{n\to\infty}{f(x_n)}=A$(3) $f(x)$在 $x_0$處的極限爲 $A$的充分必要條件是:對任意的點列 $\{x_n\}$， $x_n \neq x_0$， $\lim_{n\to \infty}{x_n}=x_0$，都有 $\lim_{n\to\infty}{f(x_n)}=A$(4) $\lim_{x\to +\infty}{f(x)}=A$的充分必要條件是：對任意的點列 $\{x_n\}$， $\lim_{n\to \infty}{x_n}=+\infty$，都有 $\lim_{n\to\infty}{f(x_n)}=A$(5) $\lim_{x\to -\infty}{f(x)}=A$的充分必要條件是：對任意的點列 $\{x_n\}$， $\lim_{n\to \infty}{x_n}=-\infty$，都有 $\lim_{n\to\infty}{f(x_n)}=A$

證：
咱們僅以有限實數爲例證實(1)，其餘證實是至關相似的。
必要性，若是 $\lim_{x\to {x_0}^{+}}{f(x)}=A$，則任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，當 $0<x-x_0<\delta$時，有 $|f(x)-A|<\varepsilon$對任意的點列 $\{x_n\}$， $x_n \neq x_0$， $\lim_{n\to \infty}{x_n}=x_0$，存在 $N$， $n\ge N$時，有 $|x_n-x_0|<\delta$，從而 $|f(x_n)-f(x_0)|<\varepsilon$充分性，若是對任意的點列 $\{x_n\}$， $x_n < x_0$， $\lim_{n\to \infty}{x_n}=x_0$，都有 $\lim_{n\to\infty}{f(x_n)}=A$反證法證實，若是 $\lim_{x\to {x_0}^{+}}{f(x)} \neq A$，那麼存在正數 $\varepsilon_0>0$，對任意 $n\ge 1$，存在 $x_0<x_n<x_0+\frac{1}{n}$，而且： $|f(x_n)-A|\ge {\varepsilon_0}$而 $\lim_{n\to\infty}{x_n}=x_0$，矛盾

定理3.5提供了一種判斷極限不存在的方法，也就是取一個數列，證實這個數列的極限不存在，就能夠證實函數的極限不存在。

連續情形下的柯西收斂原理

連續情形下也有柯西收斂原理，只不過在連續情形下，極限過程有5種，相應的柯西收斂原理也有5種，咱們一一列舉出來，並證實右極限情形，其餘極限過程的柯西收斂原理原理是相似的。
定理3.6（連續情形下的柯西收斂定理）
(1) $\lim_{x\to{x_0}^{+}}{f(x)}$存在的充分必要條件是：對任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，對任意的 $x_1,x_2\in (x_0,x_0+\delta)$，都有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$(2) $\lim_{x\to{x_0}^{-}}{f(x)}$存在的充分必要條件是：對任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，對任意的 $x_1,x_2\in (x_0-\delta,x_0)$，都有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$(3) $\lim_{x\to{x_0}}{f(x)}$存在的充分必要條件是：對任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，對任意的 $x_1,x_2 \in (x_0-\delta,x_0)\cup(x_0,x_0+\delta)$，都有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$(4) $\lim_{x\to{+\infty}}{f(x)}$存在的充分必要條件是：對任意的 $\varepsilon>0$，存在 $M>0$，對任意的 $x_1,x_2\ge M$，都有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$(5) $\lim_{x\to{-\infty}}{f(x)}$存在的充分必要條件是：對任意的 $\varepsilon>0$，存在 $M>0$，對任意的 $x_1,x_2\le -M$，都有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$

證：
僅證實(1)，其餘證實相似
必要性是顯然的，僅證實充分性：
任取一個點列 $\{x_n=x_0+\frac{1}{n}\}$，那麼顯然， $\{f(x_n)\}$是柯西列。
由數列極限的柯西收斂原理， $\{f(x_n)\}$收斂，令 $\lim_{n\to\infty}{f(x_n)}=A$
下面證實： $\lim_{x\to{x_0}^{+}}{f(x)}=A$
考察估計式： $|f(x)-A|\le |f(x)-f(x_n)| + |f(x_n)-A|$對任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，對任意的 $x_1,x_2\in (x_0,x_0+\delta)$，都有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\frac{\varepsilon}{2}$存在正整數 $n$，知足， $\frac{1}{n}<\delta$，同時， $|f(x_n)-A|<\frac{\varepsilon}{2}$
當 $0<x-x_0<\delta$時，都有 $|f(x)-A|\le |f(x)-f(x_n)| + |f(x_n)-A|<\varepsilon$

函數的連續性

連續性與間斷點

定義3.5 $f(x)$在 $x_0$的某個鄰域上有定義，若是 $\lim_{x\to x_0}{f(x)}=f(x_0)$，則稱 $f(x)$在 $x_0$點處連續，若是 $f(x)$在區間 $I$上每一個點都連續，那麼稱 $f(x)$在 $I$上連續

按左右極限的關係，有
定義3.6
$f(x)$在 $x_0$的右(左)半鄰域上有定義，若是 $\lim_{x\to {x_0}^{+}}{f(x)}=f(x_0)(\lim_{x\to {x_0}^{-}}{f(x)}=f(x_0))$，則稱 $f(x)$在 $x_0$點處右(左)連續

有以下定理
定理3.7 $f(x)$在 $x_0$上連續的充要條件是 $f(x)$在 $x_0$上左連續且右連續

若是 $f(x)$在 $x_0$上不連續，稱 $x_0$是 $f(x)$的間斷點，那麼間斷的狀況有哪幾種呢？
按照定理3.7，連續須要左右極限都存在，而且都等於 $f(x_0)$
第一種狀況：若是左右極限都存在，但至少有一個不等於 $f(x_0)$，此時， $f(x)$在 $x_0$處是跳躍的
第二種狀況：若是左右極限其中之一不存在，可是是廣義收斂的，那麼此時咱們就稱 $x_0$是無窮間斷點
第三種狀況：左右極限其中之一不存在，而且不是廣義收斂的，那麼 $f(x)$在 $x_0$的一側像三角函數同樣上下波動，可是波動幅度不會縮小

定義3.7
(1) $f(x)$在 $x_0$處左右極限存在，但不全等於 $f(x_0)$，則稱 $x_0$是 $f(x)$的第一類間斷點
(2) $f(x)$在 $x_0$處左右極限存在且相等，但不等於 $f(x_0)$，則稱 $x_0$是 $f(x)$的可去間斷點
(3) $f(x)$在 $x_0$處左右極限存在但不相等，則稱 $x_0$是 $f(x)$的跳躍間斷點
(4) $f(x)$在 $x_0$處左右極限至少有其一不存在，則稱 $x_0$是 $f(x)$的第二類間斷點
(5) $f(x)$在 $x_0$處有， $\lim_{x\to {x_0}^{+}}=\pm \infty$或 $\lim_{x\to {x_0}^{-}}=\pm \infty$，
則稱 $f(x)$是無窮間斷點

由極限的四則運算法則，連續函數也對四則運算封閉
定理3.8
(1) $f(x)$和 $g(x)$在 $x_0$上連續，則 $f(x)\pm g(x)$在 $x_0$上連續
(2) $f(x)$和 $g(x)$在 $x_0$上連續，則 $f(x)g(x)$在 $x_0$上連續
(3) $f(x)$和 $g(x)$在 $x_0$上連續, $g(x_0)\neq 0$，則 $\frac{f(x)}{g(x)}$在 $x_0$上連續

另外，連續函數還對複合函數和反函數運算封閉
定理3.9
$g(y)$在 $y=y_0$處連續， $y_0=f(x_0)$， $f(x)$在 $x=x_0$處連續，則 $g(f(x))$在 $x=x_0$處連續

證：
對任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta_1>0$， $|y-y_0|<\delta_1$時,有 $|g(y)-g(y_0)|<\varepsilon$又存在 $\delta_2>0$， $|x-x_0|<\delta_2$時，有 $|f(x)-f(x_0)|<\delta_1$此時，有 $|g(f(x))-g(f(x_0))|<\varepsilon$

實際上，定理3.9還有更弱的形式：
定理3.10 $g(y)$在 $y=y_0$處連續， $\lim_{x\to {x_0}^{+}}{f(x)}=y_0 (\lim_{x\to {x_0}^{-}}{f(x)}=y_0)$，則 $\lim_{x\to {x_0}^{+}}{g(f(x))}=g(y_0) (\lim_{x\to {x_0}^{-}}{g(f(x))}=g(y_0))$

證實是相似的，這裏咱們就不給出具體的證實
爲了討論連續函數的反函數性質，咱們首先要明確，反函數存在的條件，咱們在證實了閉區間上連續函數的性質以後，咱們將證實閉區間 $[a,b]$上連續函數反函數存在的條件是 $f(x)$在 $[a,b]$上嚴格單調，下面的證實用到一個事實： $[a,b]$上連續函數的值域都是閉區間，咱們先認可這個事實，在下一節進行證實。
定理3.11 $f(x)$是 $[a,b]$上嚴格單調上升(降低)的連續函數，則 $f^{-1}(y)$是 $[f(a),f(b)]$上嚴格單調上升(降低)的連續函數

證：
僅證實單調上升的情形
首先證實 $f^{-1}$是嚴格單調上升的，對任意的 ${f(a)}\le{y_1}<y_2\le{f(b)}$，令 $x_1=f^{-1}(y_1)$， $x_2=f^{-1}(y_2)$
按照反函數的定義， $y_1=f(x_1),y_2=f(x_2)$
若是 $x_1\ge{x_2}$，由 $f$的單調性，應有 $y_1=f(x_1)\ge f(x_2) = y_2$，與 $y_1<y_2$矛盾。
其次證實 $f^{-1}$的連續性，由單調性，對任意的 $y\in[f(a),f(b)]$， $f^{-1}$在 $y$處的左右極限都是存在的（若是在端點則只有左極限或右極限）
咱們證實右極限情形，左極限是相似的
對任意的 $\varepsilon>0$，不妨設 $f^{-1}(y)+\varepsilon<b$，就有 $y<f(f^{-1}(y)+\varepsilon)$對任意的 $y<y^{\prime}<f(f^{-1}(y)+\varepsilon)$，由嚴格單調性，有 $f^{-1}(y)<f^{-1}(y^{\prime})<f^{-1}(y)+\varepsilon$
這就證實了： $\lim_{y^{\prime}\to y }{f^{-1}(y^{\prime})}=f^{-1}(y)$

閉區間上連續函數的性質

下面咱們討論閉區間上連續函數的性質
定理3.12（有界性定理和最值定理） $f(x)$是閉區間 $[a,b]$上的連續函數，則 $f(x)$在閉區間 $[a,b]$上有界，而且上下界能夠取到

證：
(1)先證有界性：若是 $f(x)$在 $[a,b]$上無界，那麼能夠取得 $[a,b]$的一個數列 $\{x_n\}$， $\lim_{n\to \infty}{|f(x_n)|}=+\infty$，由魏爾斯特拉斯定理， $\{x_n\}$存在收斂子列 $\{x_{n_k}\}$， $\lim_{k\to\infty}{x_{n_k}}=x_0$，則 $\lim_{k\to \infty}{|x_{n_k}|}=+\infty$，而由連續性，應當有 $\lim_{k\to \infty}{|x_{n_k}|}=f(x_0)$，矛盾
(2)再證實上下确界能夠取到：記 $M=\sup\{f(x):x\in[a,b]\}$，取 $[a,b]$的一個數列 $\{x_n\}$，知足： $M\ge{f(x_n)}>M-\frac{1}{n}$，再由魏爾斯特拉斯定理，取 $\{x_n\}$的收斂子列 $\{x_{n_k}\}$，有 $M\ge{f(x_{n_k})}>M-\frac{1}{n_k}$兩邊對 $k\to \infty$取極限，再由夾逼準則，有 $\lim_{k\to\infty}{f(x_{n_k})}=M$而設 $\lim_{k\to\infty}{x_{n_k}}=x_0$，又有 $\lim_{k\to\infty}{f(x_{n_k})}=f(x_0)=M$下确界情形的證實是相似的

定理3.13 $f(x)$是閉區間 $[a,b]$上的連續函數， $M,m$爲 $f(x)$在閉區間 $[a,b]$的最大值和最小值，對任意的 $m\le{y}\le{M}$，存在 $x\in[a,b]$，使得 $y=f(x)$

證：
若是 $f(a)=y$，那麼結論天然成立，在假設 $y<M$，不然結論顯然成立
不失通常性，設 $f(a)<y$，而 $f(a)>y$的證實是相似的。
令 $S=\{t\in[a,b]:\forall x \in[a,t],f(x)<y\}$，首先 $S$是非空而且由上界的，同時， $b\notin S$
令 $t_0=\sup(S)$，這意味着，對任意的 $a<t<t_0$，都有 $f(t)<y$，那麼，由函數極限的不等式性質，應當有 $f(t_0)\le {y}$。
可是，按照 $S$的構造，又不能有 $f(t_0)<y$，假設 $f(t_0)<y$
首先， $t_0<b$，不然對任意的 $x\in[a,b]$，都有 $f(x)\le y$，與 $M$是最大值矛盾
其次，由 $f(t_0)<y$，就能夠取得 $t_0$的一個右半鄰域，在這個右半鄰域上都有 $f(x)<y$，這又與 $t_0=\sup(S)$矛盾
綜上， $f(t_0)=y$

綜合定理3.12及定理3.13，就能夠獲得以下推論
推論3.1 閉區間上連續函數的值域是閉區間

接下來，咱們給出一個更強的連續性，對於連續函數來講，對任意的 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$， $|x-x_0|<\delta$時，有 $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$
但給定 $\varepsilon$， $\delta$是和 $x_0$有關的，能夠認爲 $\delta$是 $x_0$的函數
然而，不少時候，咱們須要這個 $\delta$和點的選取無關，而閉區間上的連續函能夠作到這一點
定義3.8
$f(x)$是定義在區間 $I$上的函數，若是對任意的 $\varepsilon>0$,存在正數 $\delta>0$，對任意的 $x_1\in I,x_2\in I,|x_1-x_2|<\delta$，都有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$則稱 $f(x)$在區間 $I$上一致連續

定理3.14 $f(x)$是閉區間 $[a,b]$上的連續函數，則 $f(x)$在閉區間 $[a,b]$上一致連續

證：
用反證法證實。
假設 $f(x)$在閉區間 $[a,b]$上不一致連續，則存在正數 $\varepsilon_0>0$，能夠取到 $[a,b]$中的兩個點列 $\{x_n\}$和 $\{y_n\}$，知足 $|x_n-y_n|<\frac{1}{n}$，但 $|f(x_n)-f(y_n)|\ge{\varepsilon_0}$取子列使得 $\{x_{n_k}\}$和 $\{y_{n_k}\}$都收斂，則 $\lim_{k\to\infty}{x_{n_k}}=\lim_{k\to\infty}{y_{n_k}}=x_0$有 $|f(x_{n_k})-f(y_{n_k})|\ge{\varepsilon_0}$兩邊對 $k\to\infty$取極限，由連續性，有 $|f(x_0)-f(x_0)|\ge{\varepsilon_0}$矛盾

初等函數的連續性

接下來，咱們來證實初等函數的連續性，只要證實了基本初等函數的連續性，那麼再由連續函數的四則運算及複合函數法則，對基本初等函數進行有限次四則運算及複合函數運算，獲得的都是連續函數，這樣就證實了全體初等函數都是連續。咱們再平常遇到的大多都是初等函數，這就說明了連續函數就足以知足咱們許多需求。

三角函數的連續性

對任意的 $\Delta x$，對任意的 $x$，由兩角和的公式，有 $\sin{(x+\Delta x)}-\sin{x}\\ =\sin{x}\cos{\Delta x}+\cos{x}\sin{\Delta x}-\sin{x}\\ =\sin{x}(\cos{\Delta x}-1)+\cos{x}\sin{\Delta x}\\ =2\sin{x}(\sin{\frac{\Delta x}{2}})^2+ \cos{x}\sin{\Delta x}$對上式進行放縮 $0\le|\sin{(x+\Delta x)}-\sin{x}|\\ \le 2|(\sin{\frac{\Delta x}{2}})^2|+|\sin{\Delta x}|\\ \le \frac{{\Delta x}^2}{2} + |{\Delta x}|$應用夾逼準則，就有 $\lim_{\Delta x\to 0}{|\sin{(x+\Delta x)}-\sin{x}|}=0$這就證實了 $\sin{x}$在整個數軸上都是連續的

對任意的 $\Delta x$，對任意的 $x$，由兩角和的公式，有 $\cos{(x+\Delta x)}-\cos{x}\\ =\cos{x}\cos{\Delta x}-\sin{x}\sin{\Delta x}-\cos{x}\\ =\cos{x}(\cos{\Delta x}-\cos{x})-\sin{x}\sin{\Delta x}\\ =2\cos{x}(\sin{\frac{\Delta x}{2}})^2-\sin{x}\sin{\Delta x}$固然，由以上等式的形式，再沿用上面的證實方法，就能夠知道， $\cos{x}$在整個數軸上都是連續的
全體三角函數均可以由 $\sin{x}$和 $\cos{x}$經過四則運算表出，所以，全體三角函數都是連續的，再由反函數的連續法則，反三角函數也是連續函數

指數函數與對數函數

對 $a>0$，咱們首先要給出 $a^b(b\in R)$的定義。由於咱們再初等數學中，只學過 $b$爲有理數情形下的定義
咱們先來回顧指數是有理數情形該如何定義？首先，當 $b$是正整數時，就定義爲 $b$個 $a$相乘。
當 $b=\frac{1}{n}$，就定義爲實數 $c\ge 0$，知足： $c^n=a$，實際上，這樣的實數能夠經過二分法找到，首先，找一個徹底平方數 $N^2>a$，令 $I_0=[0,N^2]$
令 $I_0=[a_0,b_0]$，考察區間的中點 $c_0$，若是 $c_0^n=a$就找到知足條件的 $c$，不然，若是 $c_0^n<a$，令 $I_1=[c_0,b_0]=[a_1,b_1]$，若是 $c_0^n>a$，令 $I_1=[a_0,c_0]=[a_1,b_1]$
考察區間 $I_1$的中點 $c_1$，若是 $c_1^n=a$就找到知足條件的 $c$，不然，若是 $c_1^n<a$，令 $I_2=[c_1,b_1]=[a_2,b_2]$，若是 $c_1^n>a$，令 $I_2=[a_1,c_1]=[a_2,b_2]$
依此類推 $\cdots$
若是以上步驟能在有限步內結束，那麼就找到了 $a^b$，不然，就獲得一個閉區間套 $\{I_n\}$，由閉區間套定理，存在惟一的 $c\in \bigcap_{n=1}^{\infty}{I_n}$
只要驗證其知足 $c^n=a$，實際上，函數 $f(x)=x^n$是連續函數
這是由於 $f(x+\Delta x)-f(x) \\=\sum_{k=0}^{n}{C_n^k x^{n-k}{\Delta x}^k}-x^n \\=\sum_{k=1}^{n}{C_n^k x^{n-k}{\Delta x}^k}$ $x^k$在 $0$處連續
事實上， $x^k$在 $(0,+\infty)$上的嚴格單調上升的，而且有下界0，有單調有界收斂原理， $x^k$在 $0$處的右極限存在，而 $0 < \frac{1}{n^k} <\frac{1}{n}$再由夾逼準則，有 $\lim_{n\to\infty}{(\frac{1}{n})^k}=0$由函數極限與數列極限的關係， $x^k$在 $0$點連續
所以， $x^n$在整個實軸上連續
按照構造，有 $b_k\to c$，而且， $b_k^n>a$，再由構造 $a_k \to c$，而且， $a_k^n<a$，由極限的不等式性質， $c^n\ge a$，同時 $c^n\le a$，因而， $c^n=a$
再由 $x^n$的嚴格單調性， $c$是一意的
對正有理數 $q=\frac{m}{n}$，而且 $m,n$互素， $a^q$就定義爲 $a^q=(a^m)^{\frac{1}{n}}$
對負有理數 $q$， $a^q$定義爲 $\frac{1}{a^{-q}}$
對互質的兩個正整數 $m,n$，有 $a^{\frac{m}{n}}=(a^{\frac{1}{n}})^m$實際上，若是 $c=a^{\frac{1}{n}}$，那麼： $(c^m)^n=(c^n)^m=a^m$這樣， $c^m= (a^{\frac{1}{n}})^m = (a^m)^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{m}{n}}$
從而， $a^{-\frac{m}{n}}=(a^{\frac{1}{n}})^{-m}$
咱們再驗證：對任意的正整數 $k$， $a^{\frac{1}{kn}}=(a^{\frac{1}{n}})^{\frac{1}{k}}$
令 $c=a^{\frac{1}{kn}}$