數學分析筆記1：數列的極限

數集的確界

定義1.1 對於數系 $S$
(1) $E\subset S$是一個數集， $r\in S$，若是 $\forall x\in E$, $x\le r$，則稱 $E$有上界， $r$是 $E$的上界
(2) $E\subset S$是一個數集， $r\in S$，若是 $\forall x\in E$, $x\ge r$，則稱 $E$有下界， $r$是 $E$的下界
(3) $E\subset S$是一個數集，若是 $\exists r\in S$， $r>0$， $\forall x\in E$， $|x|\le r$，則稱 $E$是有界集

實際上，由該定義能夠很容易的得出

定理1.1 對於數系 $S$，集合 $E\subset S$有界的充要條件是 $E$既有上界又有下界

如今的問題是，咱們但願從全部上界中取得一個"最小"的上界，從全部下界中取得一個"最大"的下界。如何理解這句話呢？實際上，若是 $r$是 $E$的上界，那麼，由傳遞性能夠很容易推出比 $r$大的全部數都是上界，那麼天然咱們但願找儘量小的上界，小到什麼程度呢？用通俗的話講就是比它更小的數再也不是上界，換句話講，若是要成爲這個集合的上界，那麼就要比這個"最小"的上界的要大，這就是所謂的"最小"的上界。這個想法在數學上嚴格的定義就是

定義1.2 對於數系 $S$，集合 $E\subset S$，若存在數 $M\in S$( $m\in S$)，知足：
(1) $M$( $m$)是 $E$的上界（下界）
(2)若存在 $M^{\prime}$( $m^{\prime}$)也是 $E$的上界（下界），則 $M^{\prime}\ge M$( $m^{\prime}\le m$)
則稱 $M(m)$是 $E$的上確界(下确界),記爲 $M=\sup{(E)}(m=\inf{(E)})$

固然以上定義的(2)是從全部的上界都要比這個上界要大的角度來定義。還能夠換個角度來定義，所謂"最小"的上界，還能夠從比它小的數都不是上界來定義，那麼，"比它小的數都不是上界"這個命題，在數學上如何用形式邏輯的符號表示出來呢？顯然，一個數 $r$是集合 $S$的上界，等價於 $\forall x\in E$， $x\le r$，那麼它的否命題就是 $\exists x_0\in E$， $x_0>r$，這就是否是上界的定義。據此，以上定義的(2)還可換個表述

定理1.2 對於數系 $S$，集合 $E\subset S$，數 $M\in S$( $m\in S$)， $M(m)$是 $E$的上(下)界，則 $M=\sup{(E)}(m=\inf{(E)})$的充要條件是 $\forall r<M(\forall r>m)$， $\exists x_0 \in E$， $x_0 >r(x_0<r)$

證：
僅證實上確界情形，下确界情形的證實是相似的。
充分性：若是 $\forall r<M$， $\exists x_0 \in E$， $x_0 >r$，假設 $M^{\prime}$是 $E$的上界，反證法，若是 $M^{\prime}<M$，則 $\exists x_0 \in E$， $x_0>M^{\prime}$，按照上界的定義 $M^{\prime}$不是 $E$的上界，所以 $M^{\prime}\ge M$，這樣就證得 $M$是上確界。
必要性：若是 $M=\sup{(E)}$，則若是 $\exists r<M$, $\forall x\in E$， $x\le r$，則 $r$是 $E$的上界，且 $r<M$，又與上確界的定義是矛盾的，並且否命題就是 $\forall r<M$, $\exists x_0\in E$， $x_0>r$

是否對任何有上界的集合上確界都存在，有下界的集合下确界都存在呢？答案是要看具體到哪一個數系。在有理數系這個說法是不成立的，舉一個簡單的例子 $\{x>0:x\in Q,x^2<2\}$，這個數集在有理數系中找不到一個上確界，但毫無疑問是有一個有理數上界的。之因此找不到，是由於有理數系"遺漏"了一些數，至少遺漏了這個集合的上界。所以，咱們就須要更廣的數系，就是實數系。實數系是有理數系的擴充，具體的擴充方式能夠經過戴德金分割，也可定義無限不循環小數，不論以何種方式，都有

定理1.3(確界定理） 非空有上界（有下界）的實數集必有上確界（下确界）
咱們再規定無上界的集合的上確界爲 $+\infty$，無下界的集合的下确界爲 $-\infty$，接下來，咱們給出上下确界的一些性質，這些性質來源於數學分析課本的例題，列舉以下：

例1.1 A,B是兩個非空有上界的實數集，定義 $A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\}$，證實： $\sup{(A+B)}=\sup{(A)}+\sup{(B)},\inf{(A+B)}=\inf{(A)}+\inf{(B)}$

證：
僅證實上確界情形，下确界情形的證實是相似的。
$\forall a+b\in A+B$， $a\in A,b\in B$，由上肯定定義(1)，有 $a\le \sup{(A)},b\le \sup{(B)}$。所以， $a+b\le \sup{(A)}+\sup{(B)}$。從而， $\sup{(A)}+\sup{(B)}$是 $A+B$的上界。
再證實 $\sup{(A)}+\sup{(B)}$是 $A+B$的上確界，實際上，對任意的 $\varepsilon>0$，存在 $a_0\in A$, $a_0>\sup{(A)}-\frac{\varepsilon}{2}$，存在 $b_0\in A$， $b_0>\sup{(B)}-\frac{\varepsilon}{2}$， $a_0+b_0>\sup{(A)}+\sup{(B)}-\varepsilon$，這就證實了 $\sup{(A)}+\sup{(B)}$是 $A+B$的上確界

例1.2設函數 $f(x)$在 $D$上有定義，證實：
(1) $\sup_{x\in D}\{-f(x)\}=-\inf_{x\in D}\{f(x)\}$
(2) $\inf_{x\in D}\{-f(x)\}=-\sup_{x\in D}\{f(x)\}$

證：
僅證實(1),(2)的證實是相似的
記 $m=\inf_{x\in D}\{f(x)\}$， $\forall x\in D$，都有 $f(x)\ge m$，從而 $-f(x)\le -m$，所以， $-m\ge \sup_{x\in D}\{-f(x)\}$。
其次，由上確界的定義(1)，有 $\forall x\in D$， $-f(x)\le \sup_{x\in D}\{-f(x)\}$，從而， $f(x) \ge -\sup_{x\in D}\{-f(x)\}$，所以， $-\sup_{x\in D}\{-f(x)\}\le m$，綜上， $m=-\sup_{x\in D}\{-f(x)\}$

例1.3 設 $f(x)$和 $g(x)$都是定義在 $D$上的有界非負函數，證實： $\inf_{x\in D}\{f(x)\}\inf_{x\in D}\{g(x)\}\le \inf_{x\in D}\{f(x)g(x)\}\le \sup_{x\in D}\{f(x)\}\inf_{x\in D}\{g(x)\}$

證：
首先 $\inf_{x\in D}\{f(x)\}\ge 0,\inf_{x\in D}\{g(x)\}\ge 0$， $\forall x\in D$，按下确界的定義，就有 $f(x)g(x)\ge \inf_{x\in D}\{f(x)\}g(x) \ge \inf_{x \in D}\{f(x)\}\inf_{x\in D}\{g(x)\}$因而 $\inf_{x \in D}\{f(x)\}\inf_{x\in D}\{g(x)\}$是 $\{f(x)g(x):x\in D\}$的一個下界，再由下确界的定義，就有 $\inf_{x\in D}\{f(x)g(x)\}\ge \inf_{x \in D}\{f(x)\}\inf_{x\in D}\{g(x)\}$這就證得了不等式的左半邊，下面證實不等式的右半邊
分類討論，若是 $\sup_{x\in D}\{f(x)\}=0$，則 $f(x)=0,\forall x\in D$，這樣 $f(x)g(x)=0,\forall x\in D$，所以， $\inf_{x\in D}\{f(x)g(x)\}=0$，不等式天然成立
若是 $\sup_{x\in D}\{f(x)\}>0$，首先，由上確界和下确界的定義有 $\inf_{x\in D}\{f(x)g(x)\}\le f(x)g(x)\le \sup_{x\in D}\{f(x)\}g(x) , \forall x\in D$所以， $\forall x\in D$，都有 $g(x)\ge \frac{\inf_{x\in D}\{f(x)g(x)\}}{\sup_{x\in D}\{f(x)\}}$由下确界的定義，有 $\inf_{x\in D}\{g(x)\} \ge \frac{\inf_{x\in D}\{f(x)g(x)\}}{\sup_{x\in D}\{f(x)\}}$移項便可證得結論

例1.4 定義有界函數 $f(x)$在閉區間 $[a,b]$上的振幅爲 $\omega_{f}[a,b]=\sup_{x\in [a,b]}f(x)-\inf_{x\in [a,b]}f(x)$證實： $\omega_f[a,b]=\sup_{x^{\prime},x^{\prime\prime}\in[a,b]}|f(x^{\prime})-f(x^{\prime\prime})|$

證：
首先， $\forall x^{\prime},x^{\prime\prime}\in [a,b]$，不妨設 $f(x^{\prime})\ge f(x^{\prime\prime})$， $f(x^\prime)\le \sup_{x\in [a,b]}f(x)$, $f(x^{\prime\prime})\ge \inf_{x\in [a,b]}f(x)$，因而，就有 $|f(x^\prime)-f(x^{\prime\prime})|=f(x^\prime)-f(x^{\prime\prime})\le \sup_{x\in [a,b]}f(x)-\inf_{x\in [a,b]}f(x)$由上確界的定義，就有 $\sup_{x^\prime,x^{\prime\prime}\in [a,b]}|f(x^\prime)-f(x^{\prime\prime})|\le \sup_{x\in [a,b]}f(x)-\inf_{x\in [a,b]}f(x)$對任意的 $\varepsilon>0$， $\exists x^\prime \in [a,b]$， $f(x^\prime)>\sup_{x\in[a,b]}f(x)-\frac{\varepsilon}{2}$, $\exists x^{\prime\prime}\in [a,b]$, $f(x^{\prime\prime})<\inf_{x\in [a,b]}f(x)+\frac{\varepsilon}{2}$，因而 $\sup_{x^\prime,x^{\prime\prime}\in [a,b]}|f(x^\prime)-f(x^{\prime\prime})|\ge f(x^\prime)-f(x^{\prime\prime})>\sup_{x\in [a,b]}f(x)-\inf_{x\in [a,b]}f(x)-\varepsilon$由 $\varepsilon$的任意性，就獲得 $\sup_{x^\prime,x^{\prime\prime}\in [a,b]}|f(x^\prime)-f(x^{\prime\prime})|\ge\sup_{x\in [a,b]}f(x)-\inf_{x\in [a,b]}f(x)$綜合兩個不等式，就有 $\sup_{x^\prime,x^{\prime\prime}\in [a,b]}|f(x^\prime)-f(x^{\prime\prime})|=\sup_{x\in [a,b]}f(x)-\inf_{x\in [a,b]}f(x)$

數列的極限

數列極限的定義與性質

定義1.3 $\{x_n\}$是實數列，若是存在實數 $x$， $\forall \varepsilon>0$，存在正整數 $N$，當 $n\ge{N}$時，都有
$|x_n-x|<\varepsilon$則稱 $\{x_n\}$是收斂的， $x$是 $\{x_n\}$的極限，記爲 $\lim_{n \to \infty}{x_n}=x$，不然稱 $\{x_n\}$是發散的

數列極限有以下的性質
定理1.4（惟一性) 收斂數列 $\{x_n\}$的極限是惟一的

證：
$\lim_{n\to\infty}{x_n}=a$ $\lim_{n\to\infty}{x_n}=b$用反證法證實，若是 $a\neq b$，不失通常性，假設 $a<b$，那麼
令 $\varepsilon_0=\frac{b-a}{2}$，存在正整數 $N_1$，當 $n\ge N_1$時，都有 $|x_n-a|<\varepsilon_0$即 $x_n<\frac{b+a}{2}$同理，存在正整數 $N_2$,當 $n\ge N_2$時，都有 $|x_n-b|<\varepsilon_0$即 $x_n>\frac{b+a}{2}$也就是說， $n\ge\max{N_1,N_2}$時，兩個不等式矛盾，矛盾產生的緣由是假設了極限是不惟一的，證畢。

另外，收斂序列都有一個共同的特色，就是有界
定理1.5 收斂序列都是有界序列

證：
設 $\{x_n\}$是收斂列，設 $x_n\to x$，令 $\varepsilon_0=1$，存在正整數 $N$，當 $n\ge N$時，都有
$|x_n-x|<\varepsilon_0$
這樣，
$x_n\le \max(x_1,\cdots,x_N,|x+1|,|x-1|)$
這就證實了 $\{x_n\}$是有界的，證畢

定理1.6(1)若 $\exists N>0$， $n\ge N$時，都有 $x_n\ge y_n$，而且 $\{x_n\}$和 $\{y_n\}$都是收斂列， $x_n\to x$， $y_n \to y$，則 $x\ge y$（2）若 $\{x_n\}$和 $\{y_n\}$都是收斂列， $x_n \to x$， $y_n\to y$， $x<y$，則存在正整數 $N$， $n\ge{N}$時，都有 $x_n<y_n$

定理1.6的一個推論是極限的保號性，即
推論1.1（極限的保號性）(1)若 $\exists N\ge{1}$， $n\ge N$時，都有 $x_n\ge 0(\le 0)$，而且 $\{x_n\}$收斂，而且 $x_n\to x$則 $x\ge 0(\le 0)$
(2)若是 $x_n\to x$, $x>0(<0)$，則存在正整數 $N$， $n\ge N$時，都有 $x_n>0$

下面咱們來證實定理1.6：

證：
咱們先證實結論（2），再用反證法證實（1），令 $\varepsilon_0=\frac{y-x}{2}$，存在正整數 $N_1$，當 $n\ge N_1$時，都有 $x_n<x+\frac{y-x}{2}=\frac{y+x}{2}$又存在正整數 $N_2$，當 $n\ge N_2$時，都有 $y_n>y-\frac{y-x}{2}=\frac{y+x}{2}$綜合兩式，當 $n\ge{\max(N_1,N_2)}$時，有
$y_n>\frac{y+x}{2}>x_n$
接下來再來證實（1），若是 $x<y$，由（2），就存在正整數 $N$， $n\ge N$時，有 $x_n<y_n$矛盾，所以， $x\ge y$

下面，咱們能夠證實極限的四則運算性質
定理1.7（極限的四則運算）
(1) $x_n\to x$, $y_n\to y$，則 $\{x_n\pm{y_n}\}$也收斂，而且 $x_n\pm{y_n}\to{x\pm{y}}$
(2) $x_n\to x$, $y_n\to y$，則 $\{x_n{y_n}\}$也收斂，而且 $x_n{y_n}\to{x{y}}$
(3) $x_n\to x$, $y_n\to y$， $y_n\neq{0}$，則 $\{\frac{x_n}{y_n}\}$也收斂，而且 $\frac{x_n}{y_n}\to{\frac{x}{y}}$

證:
（1） $\forall \varepsilon >0$， $\exists N_1$， $\forall n\ge{N_1}$，有
$|x_n-x|<\frac{\varepsilon}{2}$
$\exists N_2$， $\forall n\ge{N_2}$，有
$|y_n-y|<\frac{\varepsilon}{2}$
因而，有
$|(x_n\pm y_n)-(x\pm y)|\le (|x_n-x|+|y_n-y|) <\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$
（2）首先，做估計 $|x_n{y_n} - xy|=|x_n{y_n}-x_n{y}+x_n{y}-xy|\le |x_n||y_n-y|+|y||x_n-x|$再由 $\{x_n\}$是收斂列，所以， $\{x_n\}$有界，設 $x_n\le M>0$，這樣不等式就能夠進一步放大爲 $|x_n{y_n}-xy|\le M|y_n-y|+(|y|+1)|x_n-x|$對任意的正數 $\varepsilon>0$，存在正整數 $N_1$，當 $n\ge N_1$時，都有 $|y_n-y|<\frac{\varepsilon}{2M}$又存在正整數 $N_2$，當 $n\ge N_2$時，有 $|x_n-x|<\frac{\varepsilon}{2(|y|+1)}$當 $n\ge\max(N_1,N_2)$時，有
$|x_n{y_n}-xy|<M(\frac{\varepsilon}{2M})+(|y|+1)(\frac{\varepsilon}{2(|y|+1)})=\varepsilon$
(3)咱們先證實 $\frac{1}{y_n}\to{\frac{1}{y}}$:
考察估計式： $|\frac{1}{y_n}-\frac{1}{y}|=|\frac{y-y_n}{y{y_n}}|=\frac{|y_n-y|}{|y||y_n|}$不失通常性，不妨設 $y>0$，令 $\varepsilon_0=\frac{y}{2}$，存在正整數 $N_0$，當 $n\ge N_0$時，有 $y_n-y>-\varepsilon_0$即 $y_n>\frac{y}{2}$從而 $\frac{1}{y_n}<\frac{2}{y}$有 $|\frac{1}{y_n}-\frac{1}{y}|\le{\frac{2|y_n-y|}{y^2}}$對任意的 $\varepsilon>0$，存在正整數 $N_1$， $n\ge N_1$時，有
$|y_n-y|<\frac{y^2\varepsilon}{2}$
再代入到估計式中便可證得結論
再應用(2)的結論便可證得(3)

極限存在的判斷方法

定理1.8（夾逼定理） $\{x_n\}$和 $\{y_n\}$收斂到同一個實數 $A$，而且對任意的 $n\ge{1}$，都有 $x_n\le{z_n}\le{y_n}$則 $\lim_{n\to\infty}{z_n}=A$

證：
對任意的正數 $\varepsilon>0$，存在正整數 $N_1$，當 $n\ge N_1$時，都有 $A-\varepsilon<y_n<A+\varepsilon$又存在正整數 $N_2$，當 $n\ge{N_2}$時，都有 $A-\varepsilon<x_n<A+\varepsilon$當 $n\ge{\max(N_1,N_2)}$時，有 $A-\varepsilon<x_n\le{z_n}\le{y_n}<A+\varepsilon$從而 $|z_n-A|<\varepsilon$證畢

例1.5 證實 $\lim_{n\to \infty}{n^{\frac{1}{n}}}=1$

證：
首先， $n^{\frac{1}{n}}\ge{1}$
另外，令 $h_n=n^{\frac{1}{n}}-1$，有 $n=(1+h_n)^n$由二項式定理 $n={1+nh_n+\frac{n(n-1)h_n^2}{2}+\cdots+h_n^n}\ge\frac{n(n-1)h_n^2}{2}$從而 $h_n\le\sqrt{\frac{2}{n-1}}$有 $0\le{h_n}\le{\sqrt{\frac{2}{n-1}}}$再應用夾逼定理，有 $\lim_{n\to \infty}{h_n}=0$

另外一個重要的的極限判斷準則是單調收斂定理：
定理1.9 單調上升（降低）有上界（下界）的數列必有極限

證：
設 $\{x_n\}$是單調上升的，而且由上界的，設 $M=\sup_{n\ge{1}}{x_n}$，對任意的 $\varepsilon>0$，存在 $n_0$知足： $x_{n_0}>M-\varepsilon$當 $n\ge{n_0}$時，有 $M\ge{x_n}\ge{x_{n_0}}>M-\varepsilon$故 $|x_n-M|<\varepsilon$單調降低有下界序列的證實是相似的，這裏省略

證實過程也代表了單調序列的極限就是上下确界，下面，咱們證實一個最重要的極限
例1.6 證實 $\{(1+\frac{1}{n})^n\}$單調上升，且有上界

證:
首先證實數列 $\{(1+\frac{1}{n})^n\}$是單調上升的，也就是說 $(1+\frac{1}{n})^n\le{(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}}$兩邊開 $n+1$次方根，就等價於證實 $(1+\frac{1}{n})^(\frac{n}{n+1})\le{1+\frac{1}{n+1}}$由均值不等式，有 $(1+\frac{1}{n})^(\frac{n}{n+1})\le{\frac{1+n(1+\frac{1}{n})}{n+1}}=1+\frac{1}{n+1}$這就證實了 $\{(1+\frac{1}{n})^n\}$是單調上升的，只須要證實其有上界便可
實際上，由二項式定理，有 $(1+\frac{1}{n})^n=\sum_{k=0}^{n}{\frac{n!}{k!(n-k)!}(\frac{1}{n})^k}\\ =\sum_{k=0}^{n}{\frac{1}{k!}[(1-\frac{1}{n})\cdots(1-\frac{n-k+1}{n})]}\\ \le{\sum_{k=0}^{n}{\frac{1}{k!}}} \le{1+1+\sum_{k=2}^{n}{\frac{1}{k(k-1)}}}\\ =2+1-\frac{1}{n}\le{3}$這就證實 $\{(1+\frac{1}{n})^n\}$有上界

由單調收斂原理， $\{(1+\frac{1}{n})^n\}$有極限，記其極限爲 $e$，就稱爲天然對數

無窮大量和無窮小量

定義1.5 $\{x_n\}$是實數列，若是 $\lim_{n\to \infty}{x_n}=0$，則稱 $\{x_n\}$是無窮小量
定理1.7 $\lim_{n\to\infty}{x_n}=x$的充分必要條件是 $\{x_n-x\}$是無窮小量
證實是容易的，這裏省略

無窮小量具備以下性質：
定理1.10
(1) $\{x_n\}$和 $\{y_n\}$都是無窮小量，則 $\{x_n\pm y_n\}$也是無窮小量
(2) $\{x_n\}$是無窮小量， $\{y_n\}$是有界數列，則 $\{x_n y_n\}$是無窮小量

證:
(1)由極限的四則運算性質就能夠獲得
(2)設 $y_n\le{M>0}$，對任意的正數 $\varepsilon>0$，存在正整數 $N$，當 $n\ge N$時，都有
$|x_n|\le\frac{\varepsilon}{M}$，此時，
$|x_n y_n|=|x_n||y_n|\le{|x_n|M}<M\frac{\varepsilon}{M}=\varepsilon$

無窮小量雖然是依託極限定義的，但在不少狀況下，無窮小量是一個很是有用的工具，在介紹完無窮小量的階以後，咱們對這點會有更清晰的認識。無窮大量是無窮小量的一個對立的概念，下面咱們給出一個收斂的無窮的定義。
定義1.6 (1)若是實數列 $\{x_n\}$知足：對任意的正數 $M>0$，都存在正整數 $N$，當 $n\ge N$時，都有 $x_n>M$則記 $\lim_{n\to \infty}{x_n}=+\infty$，稱 $\{x_n\}$是正無窮大量
(2)若是實數 $\{x_n\}$知足：對任意的正數 $M>0$，都存在正整數 $N$，當 $n\ge N$時，都有 $x_n<-M$則記 $\lim_{n\to \infty}{x_n}=-\infty$，稱 $\{x_n\}$是負無窮大量
(3)若是 $\lim_{n\to\infty}{|x_n|}=+\infty$，則稱 $\{x_n\}$是無窮大量

定理1.11 $\{x_n\}$是無窮大量的充分必要條件是 $\{\frac{1}{x_n}\}$是無窮小量

證：
必要性：若是 $\{x_n\}$是無窮大量，那麼對任意的正數 $\varepsilon>0$，都存在正整數 $N$，當 $n\ge N$時，都有 $|x_n|>\frac{1}{\varepsilon}$這樣， $|\frac{1}{x_n}|<\varepsilon$充分性：若是 $\{\frac{1}{x_n}\}$是無窮小量，對任意的正數 $M>0$，存在正整數 $N$，當 $n\ge N$時，都有 $|\frac{1}{x_n}|<\frac{1}{M}$所以， $|x_n|>M$

也就是說，實際上，無窮大量和無窮大量是互爲倒數的關係，因此不少時候，對無窮大量的命題，能夠轉化成無窮小量的命題來進行證實。
一樣地，咱們也能夠給出無窮大量的一些運算性質，以下：
定理1.12
(1) $\{x_n\}$是無窮大量， $\{y_n\}$是有界變量，則 $\{x_n\pm y_n\}$是無窮大量
(2) $\{x_n\}$是無窮大量，存在正數 $m>0$及正整數 $N$，當 $n\ge N$時，有 $|y_n|>m$，則 $\{x_n y_n\}$是無窮大量
(3) $\{x_n\}$是正(負)無窮大量， $\{y_n\}$是有界變量，那麼 $\{x_n\pm y_n\}$是正(負)無窮大量
(4) $\{x_n\}$是正(負)無窮大量的充分必要條件是 $\{-x_n\}$是負(正)無窮大量
(5) $\{x_n\}$和 $\{y_n\}$是正(負)無窮大量，則 $\{x_n+y_n\}$是正(負)無窮大量
(6) $\{x_n\}$是正無窮大量，存在正數 $m>0$及正整數 $N$，當 $n\ge N$時，都有 $y_n\ge m$，則 $\{x_n y_n\}$也是正無窮大量

證：
(1)設 $|y_n|\le{M>0}$，則考察不等式 $|x_n+y_n|\ge |x_n|-|y_n| \ge |x_n|-M$對任意的正數 $M_2>0$，存在正整數 $N$，當 $n\ge N$時，都有 $|x_n|\ge M_2+M$有 $|x_n+y_n|\ge M_2+M-M=M_2$(2)當 $n\ge N$時，考察不等式 $|x_n y_n|\ge |x_n||y_n|\ge m|x_n|$對任意的正數 $M>0$，存在正整數 $N_1$，當 $n\ge N_1$時，有
$|x_n|\ge \frac{M}{m}$，
從而當 $n\ge\max(N,N_1)$時，有 $|x_n y_n|\ge m\frac{M}{m}=M$(3)(4)(5)(6)的證實是相似的，這裏省略

若是咱們把收斂到有限實數和正負無窮視爲廣義收斂，那麼，咱們能夠認爲，全部的單調序列都是廣義收斂的，極限是其對應的確界

無窮小量的比較

咱們知道無窮小量和有界變量的乘積仍是無窮小量，但無窮小量和無窮大量的乘積就不必定是無窮小量或者是無窮大量了。
例1.7 (1) $\lim_{n\to \infty}{n\frac{1}{n}}=1$，這說明無窮大量和無窮小量的乘積可能收斂到有限實數\
(2) $\lim_{n\to \infty}{n^2\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}{n}=+\infty$，無窮大量和無窮小量的乘積可能仍是無窮小量\
(3) $\lim_{n\to\infty}{n\frac{1}{n}sin(\frac{1}{n})}$不存在，無窮大量和無窮小量的乘積還可能不是廣義收斂的

由定理1.12，咱們只要無窮大量和無窮小量是互爲倒數的關係，若是 $\{x_n\}$和 $\{y_n\}$是兩個無窮小量，而且 $y_n\neq 0$，則它們的比值 $\frac{x_n}{y_n}$可能極限存在，可能收斂到正負無窮，也可能不是廣義收斂的，這就由無窮小量的階的概念
定義1.7 $\{x_n\}$和 $\{y_n\}$是兩個無窮小量，則
(1)若是 $\frac{x_n}{y_n}\to 0$，則稱 $\{x_n\}$是 $\{y_n\}$的高階無窮小，記爲
$x_n=o(y_n)$
(2)若是 $\frac{x_n}{y_n}\to x\neq 0$，則稱 $\{x_n\}$是 $\{y_n\}$的同階無窮小
(3)若是 $\frac{x_n}{y_n}\to 1$，則稱 $\{x_n\}$和 $\{y_n\}$是等價無窮小，記爲 $x_n \sim y_n$

按照定義，若是 $x_n=o(y_n)$，那麼在 $n$足夠大時，就有 $x_n<y_n$若是 $\{x_n\}$和 $\{y_n\}$是同階無窮小，那麼，在 $n$足夠大時，就能夠認爲 $x_n\approx x y_n$特別地，若是 $x_n \sim y_n$， $n$足夠大時，就能夠認爲 $x_n \approx y_n$等價無窮小的一個重要做用是在求解某些不定式的極限時，能夠替換成相應的等價無窮小，從而簡化計算。

數列的上下極限

對於數列 $\{x_n\}$而言，數列的極限不必定存在，然而，數列的上下極限一般是存在的，數列的上下極限是後面分析問題的一個重要的工具。所以本節對數列的上下極限進行詳細的介紹。
對於兩個實數集 $E_1,E_2$，若是 $E_1\subset E_2$，則有 $\inf(E_2)\le\inf(E_1)\le\sup(E_1)\le\sup(E_2)$實際上，數列收斂等價於隨着 $n\to\infty$，數列的振幅趨向於0，那麼，怎麼表示出"振幅"的概念呢？仿照例\ref{ex1}，能夠知道，數列在 $n\to\infty$的過程當中，某個時刻以後的振幅能夠表示爲 $\omega_n\{x_n\}=\sup_{k\ge n}\{x_k\}-\inf_{k\ge n}\{x_k\}$，從直觀上看，應當有結論：若是 $\omega_n\to 0$，就有 $\{x_n\}$收斂的結論，而且這應當是等價。後面咱們將說明這個事實。
給定有界數列 $\{x_n\}$，實際上咱們能夠獲得兩個數列 $\{\sup_{k\ge n}\{x_n\}\},\{\inf_{k\ge n}\{x_n\}\}$，前者是單調遞減的，後者是單調上升的。即令 $M_n=\sup_{k\ge n}\{x_n\},m_n=\inf_{k\ge n}\{x_n\}$，就有 $M_1\ge M_2\ge \cdots M_n \ge m_n \ge \cdots \ge m_2 \ge m_1$可見 $\{M_n\}$有下界 $m_1$， $\{m_n\}$有上界 $M_1$，由單調有界收斂原理， $\{M_n\}$和 $\{m_n\}$都收斂，而且 $\lim_{n\to\infty}{M_n}=\inf_{n\ge 1}\sup_{k\ge n}{x_k}$ $\lim_{n\to\infty}{m_n}=\sup_{n\ge 1}\inf_{k\ge n}{x_k}$定義有界數列 $\{x_n\}$的上極限爲 $\limsup_{n\to\infty}{x_n}=\inf_{n\ge 1}\sup_{k\ge n}{x_k}$，下極限爲 $\liminf_{n\to\infty}{x_n}=\sup_{n\ge 1}\inf_{k\ge n}{x_k}$