第71課 圖的定義

1. 圖的定義

（1）定義：圖是由頂點集合（Vertex）及頂點間的關係集合（Edge）組成的一種數據結構。Graph = (V, E); 其中：

　　V={x|x∈某個數據對象}是頂點的有窮非空集合

　　E={(x,y)}x, y∈V}是頂點之間關係（邊）的有窮集合

 

（2）比較線性表、樹和圖的不一樣

	數據元素 的名稱	數據對象 （數據元素的集合）	數據元素 之間的關係
線性表	元素	無元素爲空表	線性關係
樹	結點	無結點的爲空樹	層次關係
圖	頂點（Vertex）	頂點集有窮非空	邊（邊集可爲空）

2. 相關概念

 

（1）無向邊和無向圖

　　①無向邊：若頂點x和y之間的邊沒有方向，稱邊(x，y)爲無向邊（注意，用圓括號表示）。可見，(x,y)和(y,x)的意義相同，表示x和y之間有鏈接，x和y互爲鄰接點(adjacent)。

　　②無向圖：任意兩個頂點之間的邊均爲無向邊的圖，稱爲無向圖（Undirected Graph）。如圖G1={V,{E}}，其中頂點集V={A,B,C,D}，邊集E={(A,B),(B,C),(C,D),(D,A),(A,C)}

（2）有向邊和有向圖

　　①有向邊：若頂點x和y之間的邊有方向，稱邊<x,y>稱爲有向邊或弧(Arc)（注意：用尖括號表示）。可見，<x,y>和<y,x>意義不一樣，表示x鏈接到y。x爲弧尾（Tail),y爲弧頭(Head）

　　②有向圖：任意兩個頂點之間的邊均爲有向邊的圖，稱爲有向圖（Directed Graph）。對於有向圖G={V,{E}}，其中頂點集V={A,B,C,D} ,邊集E={<A,D>,<B,A>,<B,C>,<C,A>}

（3）頂點的度

　　①入度（InDegree）：以v爲頭的邊的數目，記爲ID(v)。入度是針對有向圖的，如圖G2圖中A的入度爲2。

　　②出度（OutDegree）：以v爲尾的邊的數目，記爲OD(v)。出度也是針對有向圖的，如圖G2中A的出度爲1。

　　③頂點的度：頂點v的度是和v相關聯的邊的數目，記爲TD(v)。適用於無向圖和有向圖，對於有向圖而言TD(v)=ID(v)+OD(v)。

　　④頂點和邊的關係

頂點度數	TD(v) = ID(v) + OD(v)	頂點度數=入度+出度
邊數	E=[TD(v1)+TD(v2)+…+TD(vn)]/2	邊數=總度數/2
	E=ID(v1)+ID(v2)+…+ID(vn)	邊數=總入度
	E=OD(v1)+OD(v2)+…+OD(vn)	邊數=總出度

（4）權（weight）：與圖的邊相關的數字，能夠表示頂點間的距離或耗費。

 

3. 圖的操做

 

（1）常見的操做：①獲取/設置頂點的值；②獲取鄰接頂點；③獲取/設置邊的值。④刪除邊；⑤獲取頂點數/邊數；⑥獲取頂點的度數；⑦判斷是否爲無向圖，等等。

【編程實驗】圖的抽象類建立

#ifndef _GRAPH_H_
#define _GRAPH_H_

#include "Object.h"
#include "SharedPointer.h"
#include "Array.h"

namespace DTLib
{

//V爲頂點類型，E爲邊類型
template<typename V, typename E>
class Graph : public Object
{
public:
    virtual V getVertex(int i) = 0;
    virtual bool getVertex(int i, V& value) = 0;
    virtual bool setVertex(int i, const V& value) = 0;

    //獲取頂點i的鄰接頂點
    virtual SharedPointer<Array<int> > getAdjacent(int i) = 0;

    //參數i爲起點、j爲終點、value爲邊(權值)
    virtual E getEdge(int i, int j) = 0;
    virtual bool getEdge(int i, int j, E& value) = 0;
    virtual bool setEdge(int i, int j, const E& value) = 0;
    virtual bool removeEdge(int i, int j) = 0;

    //判斷是否可看作無向圖
    bool asUndirected()
    {
        bool ret =true;

        for(int i=0; i<vCount() && ret; i++){
            for(int j=0; j<vCount() && ret; j++){
                //判斷i和j互爲鄰接頂點且<i,j>和<j,i>邊的權值相等
                if(isAdjacent(i, j)){
                    ret = ret && isAdjacent(j, i) && (getEdge(i, j) == getEdge(j, i));
                }
            }
        }

        return ret;
    }

    //判斷圖中頂點i到頂點j是否鄰接
    virtual bool isAdjacent(int i, int j) = 0;

    virtual int vCount() = 0; //獲取頂點的數量
    virtual int eCount() = 0; //獲取邊的數量

    virtual int OD(int i) = 0; //獲取頂點i的出度
    virtual int ID(int i) = 0; //獲取頂點i的入度
    virtual int TD(int i) //獲取頂點i的度
    {
        return ID(i) + OD(i);
    }
};

}

#endif // _GRAPH_H_

4. 小結

（1）圖是頂點與邊的集合，是一種非線性的數據結構

（2）圖中頂點能夠與多個其它頂點產生鄰接關係

（3）邊的權值，用於表示頂點間的距離。

（4）圖在程序中表現爲特殊的數據類型