【轉載】理解矩陣（三）

首先來總結一下前面兩部分的一些主要結論：

1. 首先有空間，空間能夠容納對象運動的。一種空間對應一類對象。
2. 有一種空間叫線性空間，線性空間是容納向量對象運動的。
3. 運動是瞬時的，所以也被稱爲變換。
4. 矩陣是線性空間中運動（變換）的描述。
5. 矩陣與向量相乘，就是實施運動（變換）的過程。
6. 同一個變換，在不一樣的座標系下表現爲不一樣的矩陣，可是它們的本質是同樣的，因此本徵值相同。

下面讓咱們把視力集中到一點以改變咱們以往看待矩陣的方式。咱們知道，線性空間裏的基本對象是向量，而向量是這麼表示的：

\[[a1, a2, a3, ..., an]\]

矩陣呢？矩陣是這麼表示的：
\[ \begin{align} \left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right] \notag \end{align} \]

不用太聰明，咱們就能看出來，矩陣是一組向量組成的。特別的，n維線性空間裏的方陣是由n個n維向量組成的。咱們在這裏只討論這個n階的、非奇異的方陣，由於理解它就是理解矩陣的關鍵，它纔是通常狀況，而其餘矩陣都是意外，都是不得不對付的討厭情況，大能夠放在一邊。這裏多一句嘴，學習東西要抓住主流，不要糾纏於旁支末節。很惋惜咱們的教材課本大多數都是把主線埋沒在細節中的，搞得你們還沒明白怎麼回事就先被灌暈了。好比數學分析，明明最要緊的觀念是說，一個對象能夠表達爲無窮多個合理選擇的對象的線性和，這個概念是貫穿始終的，也是數學分析的精華。可是課本里自始至終不講這句話，反正就是讓你作吉米多維奇，掌握一大堆解偏題的技巧，記住各類特殊狀況，兩類間斷點，怪異的可微和可積條件（誰還記得柯西條件、迪裏赫萊條件...？），最後考試一過，一切忘光光。要我說，還不如反覆強調這一個事情，把它深深入在腦子裏，別的東西忘了就忘了，真碰到問題了，再查數學手冊嘛，何須因小失大呢？

言歸正傳。若是一組向量是彼此線性無關的話，那麼它們就能夠成爲度量這個線性空間的一組基，從而事實上成爲一個座標系體系，其中每個向量都躺在一根座標軸上，而且成爲那根座標軸上的基本度量單位（長度1）。

如今到了關鍵的一步。看上去矩陣就是由一組向量組成的，並且若是矩陣非奇異的話（我說了，只考慮這種狀況），那麼組成這個矩陣的那一組向量也就是線性無關的了，也就能夠成爲度量線性空間的一個座標系。結論：矩陣描述了一個座標系。

「慢着！」，你嚷嚷起來了，「你這個騙子！你不是說過，矩陣就是運動嗎？怎麼這會矩陣又是座標系了？」

嗯，因此我說到了關鍵的一步。我並無騙人，之因此矩陣又是運動，又是座標系，那是由於——

「運動等價於座標系變換」。

對不起，這話其實不許確，我只是想讓你印象深入。準確的說法是：

「對象的變換等價於座標系的變換」。

或者：

「固定座標系下一個對象的變換等價於固定對象所處的座標系變換。」

說白了就是：

「運動是相對的。」        

讓咱們想一想，達成同一個變換的結果，好比把點(1, 1)變到點(2, 3)去，你能夠有兩種作法。第一，座標系不動，點動，把(1, 1)點挪到(2, 3)去。第二，點不動，變座標系，讓x軸的度量（單位向量）變成原來的1/2，讓y軸的度量（單位向量）變成原先的1/3，這樣點仍是那個點，但是點的座標就變成(2, 3)了。方式不一樣，結果同樣。

• 從第一個方式來看，那就是我在《理解矩陣》1/2中說的，把矩陣當作是運動描述，矩陣與向量相乘就是使向量（點）運動的過程。在這個方式下，
  \[Ma = b\]
  的意思是：「向量a通過矩陣M所描述的變換，變成了向量b。」

• 而從第二個方式來看，矩陣M描述了一個座標系，姑且也稱之爲M。那麼：
  \[Ma = b\]
  的意思是：「有一個向量，它在座標系\(M\)的度量下獲得的度量結果向量爲a，那麼它在座標系\(I\)的度量下，這個向量的度量結果是b。」 這裏的\(I\)是指單位矩陣，就是主對角線是1，其餘爲零的矩陣。

而這兩個方式本質上是等價的。

我但願你務必理解這一點，由於這是本篇的關鍵。

正由於是關鍵，因此我得再解釋一下。

在M爲座標系的意義下，若是把M放在一個向量a的前面，造成\(Ma\)的樣式，咱們能夠認爲這是對向量a的一個環境聲明。它至關因而說：

「注意了！這裏有一個向量，它在座標系M中度量，獲得的度量結果能夠表達爲a。但是它在別的座標系裏度量的話，就會獲得不一樣的結果。爲了明確，我把M放在前面，讓你明白，這是該向量在座標系M中度量的結果。」

那麼咱們再看孤零零的向量b：

b

多看幾遍，你沒看出來嗎？它其實不是b，它是：

\(Ib\)

也就是說：「在單位座標系，也就是咱們一般說的直角座標系I中，有一個向量，度量的結果是b。」

而  \(Ma = Ib\)的意思就是說：

「在M座標系裏量出來的向量a，跟在I座標系裏量出來的向量b，其實根本就是一個向量啊！」

這哪裏是什麼乘法計算，根本就是身份識別嘛。

從這個意義上咱們從新理解一下向量。向量這個東西客觀存在，可是要把它表示出來，就要把它放在一個座標系中去度量它，而後把度量的結果（向量在各個座標軸上的投影值）按必定順序列在一塊兒，就成了咱們平時所見的向量表示形式。你選擇的座標系（基）不一樣，得出來的向量的表示就不一樣。向量仍是那個向量，選擇的座標系不一樣，其表示方式就不一樣。所以，按道理來講，每寫出一個向量的表示，都應該聲明一下這個表示是在哪一個座標系中度量出來的。表示的方式，就是 Ma，也就是說，有一個向量，在M矩陣表示的座標系中度量出來的結果爲a。咱們平時說一個向量是\([2,\,3,\, 5,\, 7]^T\)，隱含着是說，這個向量在 \(I\) 座標系中的度量結果是\([2,\, 3, \,5,\, 7]^T\)，所以，這個形式反而是一種簡化了的特殊狀況。

注意到，M矩陣表示出來的那個座標系，由一組基組成，而那組基也是由向量組成的，一樣存在這組向量是在哪一個座標系下度量而成的問題。也就是說，表述一個矩陣的通常方法，也應該要指明其所處的基準座標系。所謂M，實際上是 IM，也就是說，M中那組基的度量是在 I 座標系中得出的。從這個視角來看，\(M×N\)也不是什麼矩陣乘法了，而是聲明瞭一個在M座標系中量出的另外一個座標系N，其中M自己是在\(I\)座標系中度量出來的。

回過頭來講變換的問題。我剛纔說，「固定座標系下一個對象的變換等價於固定對象所處的座標系變換」，那個「固定對象」咱們找到了，就是那個向量。可是座標系的變換呢？我怎麼沒看見？

請看：

\[Ma = Ib\]

我如今要變M爲I，怎麼變？對了，再前面乘以個\(M^{-1}\)，也就是M的逆矩陣。換句話說，你不是有一個座標系M嗎，如今我讓它乘以個\(M^{-1}\)，變成\(I\)，這樣一來的話，原來M座標系中的a在\(I\)中一量，就獲得b了。

我建議你此時此刻拿起紙筆，畫畫圖，求得對這件事情的理解。好比，你畫一個座標系，x軸上的衡量單位是2，y軸上的衡量單位是3，在這樣一個座標系裏，座標爲(1，1)的那一點，實際上就是笛卡爾座標系裏的點(2, 3)。而讓它原形畢露的辦法，就是把原來那個座標系:

2 0
0 3

的x方向度量縮小爲原來的1/2，而y方向度量縮小爲原來的1/3，這樣一來座標系就變成單位座標系I了。保持點不變，那個向量如今就變成了(2, 3)了。

怎麼可以讓「x方向度量縮小爲原來的1/2，而y方向度量縮小爲原來的1/3」呢？就是讓原座標系：

2 0
0 3

被矩陣：

1/2   0
0   1/3

左乘。而這個矩陣就是原矩陣的逆矩陣。

下面咱們得出一個重要的結論：

「對座標系施加變換的方法，就是讓表示那個座標系的矩陣與表示那個變化的矩陣相乘。」

再一次的，矩陣的乘法變成了運動的施加。只不過，被施加運動的再也不是向量，而是另外一個座標系。

若是你以爲你還搞得清楚，請再想一下剛纔已經提到的結論，矩陣MxN，一方面代表座標系N在運動M下的變換結果，另外一方面，把M當成N的前綴，當成N的環境描述，那麼就是說，在M座標系度量下，有另外一個座標系N。這個座標系N若是放在I座標系中度量，其結果爲座標系MxN。

在這裏，我實際上已經回答了通常人在學習線性代數是最困惑的一個問題，那就是爲何矩陣的乘法要規定成這樣。簡單地說，是由於：

1. 從變換的觀點看，對座標系N施加M變換，就是把組成座標系N的每個向量施加M變換。

2. 從座標系的觀點看，在M座標系中表現爲N的另外一個座標系，這也歸結爲，對N座標系基的每個向量，把它在I座標系中的座標找出來，而後匯成一個新的矩陣。

3. 至於矩陣乘以向量爲何要那樣規定，那是由於一個在M中度量爲a的向量，若是想要恢復在I中的真像，就必須分別與M中的每個向量進行內積運算。我把這個結論的推導留給感興趣的朋友吧。應該說，其實到了這一步，已經很容易了。

綜合以上1/2/3，矩陣的乘法就得那麼規定，一切有根有據，毫不是哪一個神經病胡思亂想出來的。

我已經沒法說得更多了。矩陣又是座標系，又是變換。究竟是座標系，仍是變換，已經說不清楚了，運動與實體在這裏統一了，物質與意識的界限已經消失了，一切歸於沒法言說，沒法定義了。道可道，很是道，名可名，很是名。矩陣是在是不可道之道，不可名之名的東西。到了這個時候，咱們不得不認可，咱們偉大的線性代數課本上說的矩陣定義，是無比正確的：

「矩陣就是由m行n列數放在一塊兒組成的數學對象。」

好了，這基本上就是我想說的所有了。還留下一個行列式的問題。矩陣M的行列式其實是組成M的各個向量按照平行四邊形法則搭成一個n維立方體的體積。對於這一點，我只能感嘆於其精妙，卻沒法揭開其中奧祕了。也許我掌握的數學工具不夠，我但願有人可以給咱們你們講解其中的道理了。

我不知道是否講得足夠清楚了，反正這一部分須要您花些功夫去推敲。

此外，請你們沒必要等待這個系列的後續部分。以個人工做狀況而言，近期內很難保證繼續投入腦力到這個領域中，儘管我仍然對此興致濃厚。不過若是還有（四）的話，多是一些站在應用層面的考慮，好比對計算機圖形學相關算法的理解。可是我不承諾這些討論近期內會出現了。

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最後的最後，很是感謝原做者分享本身對於矩陣的理解，我想說這對不少人來講都受益不淺，書本上冰冷的知識堆砌一直讓我摸不着頭腦，爲何要這麼定義？這麼求出來爲何就是特徵值或者特徵矩陣了呢？讀了這些系列文章後有種醍醐灌頂的感受，再次表示感謝！

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做者：myan
來源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/myan/article/details/1865397

MARSGGBO♥原創




2018-12-19