【轉載】理解矩陣（一）

時間 2019-11-12

原文原文鏈接

I. 前言

線性代數課程，不管你從行列式入手仍是直接從矩陣入手，從一開始就充斥着莫名其妙。好比說，在全國通常工科院系教學中應用最普遍的同濟線性代數教材（如今到了第四版），一上來就介紹逆序數這個「前無古人，後無來者」的古怪概念，而後用逆序數給出行列式的一個極不直觀的定義，接着是一些簡直犯傻的行列式性質和習題——把這行乘一個係數加到另外一行上，再把那一列減過來，折騰得那叫一個熱鬧，可就是壓根看不出這個東西有嘛用。大多數像我同樣資質平庸的學生到這裏就有點犯暈：連這是個什麼東西都模模糊糊的，就開始鑽火圈表演了，這未免太「無厘頭」了吧！因而開始有人逃課，更多的人開始抄做業。這下就中招了，由於其後的發展能夠用一句峯迴路轉來形容，緊跟着這個無厘頭的行列式的，是一個一樣無厘頭可是偉大的無以復加的傢伙的出場——矩陣來了！多年以後，我才明白，當老師犯傻似地用中括號把一堆傻了吧嘰的數括起來，而且不緊不慢地說：「這個東西叫作矩陣」的時候，個人數學生涯掀開了何等悲壯辛酸、慘絕人寰的一幕！自那之後，在幾乎全部跟「學問」二字稍微沾點邊的東西里，矩陣這個傢伙從不缺席。對於我這個沒能一次搞定線性代數的笨蛋來講，矩陣老大的不請自來往往搞得我灰頭土臉，頭破血流。長期以來，我在閱讀中一見矩陣，就如同阿Q見到了假洋鬼子，揉揉額角就繞道走。數組

事實上，我並非特例。通常工科學生初學線性代數，一般都會感到困難。這種情形在國內外皆然。瑞典數學家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics中說：「若是不熟悉線性代數的概念，要去學習天然科學，如今看來就和文盲差很少。」，然而「按照現行的國際標準，線性代數是經過公理化來表述的，它是第二代數學模型，...，這就帶來了教學上的困難。」事實上，當咱們開始學習線性代數的時候，不知不覺就進入了「第二代數學模型」的範疇當中，這意味着數學的表述方式和抽象性有了一次全面的進化，對於從小一直在「第一代數學模型」，即以實用爲導向的、具體的數學模型中學習的咱們來講，在沒有並明確告知的狀況下進行如此劇烈的paradigm shift，不感到困難纔是奇怪的。函數

大部分工科學生，每每是在學習了一些後繼課程，如數值分析、數學規劃、矩陣論以後，才逐漸可以理解和熟練運用線性代數。即使如此，很多人即便可以很熟練地以線性代數爲工具進行科研和應用工做，但對於不少這門課程的初學者提出的、看上去是很基礎的問題卻並不清楚。好比說：工具

矩陣到底是什麼東西？ 向量能夠被認爲是具備n個相互獨立的性質（維度）的對象的表示，矩陣又是什麼呢？咱們若是認爲矩陣是一組列（行）向量組成的新的複合向量的展開式，那麼爲何這種展開式具備如此普遍的應用？特別是，爲何恰恰二維的展開式如此有用？若是矩陣中每個元素又是一個向量，那麼咱們再展開一次，變成三維的立方陣，是否是更有用？學習
矩陣的乘法規則究竟爲何這樣規定？ 爲何這樣一種怪異的乘法規則卻可以在實踐中發揮如此巨大的功效？不少看上去彷佛是徹底不相關的問題，最後居然都歸結到矩陣的乘法，這難道不是很奇妙的事情？難道在矩陣乘法那看上去莫名其妙的規則下面，包含着世界的某些本質規律？若是是的話，這些本質規律是什麼？spa
行列式到底是一個什麼東西？ 爲何會有如此怪異的計算規則？行列式與其對應方陣本質上是什麼關係？爲何只有方陣纔有對應的行列式，而通常矩陣就沒有（不要以爲這個問題很蠢，若是必要，針對m x n矩陣定義行列式不是作不到的，之因此不作，是由於沒有這個必要，可是爲何沒有這個必要）？並且，行列式的計算規則，看上去跟矩陣的任何計算規則都沒有直觀的聯繫，爲何又在不少方面決定了矩陣的性質？難道這一切僅是巧合？.net
矩陣爲何能夠分塊計算？ 分塊計算這件事情看上去是那麼隨意，爲何竟是可行的？設計
對於矩陣轉置運算\(A^T\)，有\((AB)^T = B^TA^T\)，對於矩陣求逆運算\(A^{-1}\)，有\((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)。兩個看上去徹底沒有什麼關係的運算，爲何有着相似的性質？這僅僅是巧合嗎？對象
爲何說\(P^{-1}AP\)獲得的矩陣與A矩陣「類似」？這裏的「類似」是什麼意思？blog
特徵值和特徵向量的本質是什麼？ 它們定義就讓人很驚訝，由於\(Ax =λx\)，一個諾大的矩陣的效應，居然不過至關於一個小小的數λ，確實有點奇妙。但何至於用「特徵」甚至「本徵」來界定？它們刻劃的到底是什麼？get

這樣的一類問題，常常讓使用線性代數已經不少年的人都感到爲難。就好像大人面對小孩子的刨根問底，最後總會無可奈何地說「就這樣吧，到此爲止」同樣，面對這樣的問題，不少老手們最後也只能用：「就是這麼規定的，你接受而且記住就好」來搪塞。然而，這樣的問題若是不能得到回答，線性代數對於咱們來講就是一個粗暴的、不講道理的、莫名其妙的規則集合，咱們會感到，本身並非在學習一門學問，而是被不禁分說地「拋到」一個強制的世界中，只是在考試的皮鞭揮舞之下被迫趕路，全然沒法領略其中的美妙、和諧與統一。直到多年之後，咱們已經發覺這門學問如此的有用，卻仍然會很是迷惑：怎麼這麼湊巧？

我認爲，這是咱們的線性代數教學中直覺性喪失的後果。上述這些涉及到「如何能」、「怎麼會」的問題，僅僅經過純粹的數學證實來回答，是不能令提問者滿意的。好比，若是你經過通常的證實方法論證了矩陣分塊運算確實可行，那麼這並不可以讓提問者的疑惑獲得解決。他們真正的困惑是：矩陣分塊運算爲何居然是可行的？究竟只是湊巧，仍是說這是由矩陣這種對象的某種本質所必然決定的？若是是後者，那麼矩陣的這些本質是什麼？只要對上述那些問題稍加考慮，咱們就會發現，全部這些問題都不是單純依靠數學證實所可以解決的。像咱們的教科書那樣，凡事用數學證實，最後培養出來的學生，只能熟練地使用工具，卻欠缺真正意義上的理解。

自從1930年代法國布爾巴基學派興起以來，數學的公理化、系統性描述已經得到巨大的成功，這使得咱們接受的數學教育在嚴謹性上大大提升。然而數學公理化的一個備受爭議的反作用，就是通常數學教育中直覺性的喪失。數學家們彷佛認爲直覺性與抽象性是矛盾的，所以絕不猶豫地犧牲掉前者。然而包括我本人在內的不少人都對此表示懷疑，咱們不認爲直覺性與抽象性必定相互矛盾，特別是在數學教育中和數學教材中，幫助學生創建直覺，有助於它們理解那些抽象的概念，進而理解數學的本質。反之，若是一味注重形式上的嚴格性，學生就好像被迫進行鑽火圈表演的小白鼠同樣，變成枯燥的規則的奴隸。

對於線性代數的相似上述所提到的一些直覺性的問題，兩年多來我斷斷續續地反覆思考了4、五次，爲此閱讀了好幾本國內外線性代數、數值分析、代數和數學通論性書籍，其中像前蘇聯的名著《數學：它的內容、方法和意義》、龔昇教授的《線性代數五講》、前面提到的Encounter with Mathematics（《數學概觀》）以及Thomas A. Garrity的《數學拾遺》都給我很大的啓發。不過即便如此，我對這個主題的認識也經歷了好幾回自我否認。好比之前思考的一些結論曾經寫在本身的blog裏，可是如今看來，這些結論基本上都是錯誤的。所以打算把本身如今的有關理解比較完整地記錄下來，一方面是由於我以爲如今的理解比較成熟了，能夠拿出來與別人探討，向別人請教。另外一方面，若是之後再有進一步的認識，把如今的理解給推翻了，那如今寫的這個snapshot也是頗有意義的。

由於打算寫得比較多，因此會分幾回慢慢寫。也不知道是否是有時間慢慢寫完整，會不會中斷，寫着看吧。

今天先談談對線形空間和矩陣的幾個核心概念的理解。這些東西大部分是憑着本身的理解寫出來的，基本上不抄書，可能有錯誤的地方，但願可以被指出。但我但願作到直覺，也就是說能把數學背後說的實質問題說出來。

II. 空間

首先說說空間(space) ，這個概念是現代數學的命根子之一，從拓撲空間開始，一步步往上加定義，能夠造成不少空間。線形空間其實仍是比較初級的，若是在裏面定義了範數，就成了賦範線性空間。賦範線性空間知足完備性，就成了巴那赫空間；賦範線性空間中定義角度，就有了內積空間，內積空間再知足完備性，就獲得希爾伯特空間。

總之，空間有不少種。你要是去看某種空間的數學定義，大體都是「存在一個集合，在這個集合上定義某某概念，而後知足某些性質」，就能夠被稱爲空間。這未免有點奇怪，爲何要用「空間」來稱呼一些這樣的集合呢？你們將會看到，其實這是頗有道理的。

咱們通常人最熟悉的空間，毫無疑問就是咱們生活在其中的（按照牛頓的絕對時空觀）的三維空間，從數學上說，這是一個三維的歐幾里德空間，咱們先無論那麼多，先看看咱們熟悉的這樣一個空間有些什麼最基本的特色。仔細想一想咱們就會知道，這個三維的空間：

1. 由不少（其實是無窮多個）位置點組成；
1. 這些點之間存在相對的關係；
1. 能夠在空間中定義長度、角度；
1. 這個空間能夠容納運動，這裏咱們所說的運動是從一個點到另外一個點的移動（變換），而不是微積分意義上的「連續」性的運動，

上面的這些性質中，最最關鍵的是第4條。第一、2條只能說是空間的基礎，不算是空間特有的性質，凡是討論數學問題，都得有一個集合，大多數還得在這個集合上定義一些結構（關係），並非說有了這些就算是空間。而第3條太特殊，其餘的空間不須要具有，更不是關鍵的性質。只有第4條是空間的本質，也就是說，容納運動是空間的本質特徵。

認識到了這些，咱們就能夠把咱們關於三維空間的認識擴展到其餘的空間。事實上，無論是什麼空間，都必須容納和支持在其中發生的符合規則的運動（變換）。你會發現，在某種空間中每每會存在一種相對應的變換，好比拓撲空間中有拓撲變換，線性空間中有線性變換，仿射空間中有仿射變換，其實這些變換都只不過是對應空間中容許的運動形式而已。

所以只要知道，「空間」是容納運動的一個對象集合，而變換則規定了對應空間的運動。

下面咱們來看看線性空間。線性空間的定義任何一本書上都有，可是既然咱們認可線性空間是個空間，那麼有兩個最基本的問題必須首先獲得解決，那就是：

空間是一個對象集合，線性空間也是空間，因此也是一個對象集合。那麼線性空間是什麼樣的對象的集合？或者說，線性空間中的對象有什麼共同點嗎？
線性空間中的運動如何表述的？ 也就是，線性變換是如何表示的？

1. 線性空間是什麼樣的對象的集合？

咱們先來回答第一個問題，回答這個問題的時候實際上是不用拐彎抹角的，能夠直截了當的給出答案。線性空間中的任何一個對象，經過選取基和座標的辦法，均可以表達爲向量的形式。一般的向量空間我就不說了，舉兩個不那麼平凡的例子：

L1. 最高次項不大於n次的多項式的全體構成一個線性空間，也就是說，這個線性空間中的每個對象是一個多項式。若是咱們以x0, x1, ..., xn爲基，那麼任何一個這樣的多項式均可以表達爲一組n+1維向量，其中的每個份量ai其實就是多項式中x(i-1)項的係數。值得說明的是，基的選取有多種辦法，只要所選取的那一組基線性無關就能夠。這要用到後面提到的概念了，因此這裏先不說，提一下而已。

L2. 閉區間[a, b]上的n階連續可微函數的全體，構成一個線性空間。也就是說，這個線性空間的每個對象是一個連續函數。對於其中任何一個連續函數，根據魏爾斯特拉斯定理，必定能夠找到最高次項不大於n的多項式函數，使之與該連續函數的差爲0，也就是說，徹底相等。這樣就把問題歸結爲L1了。後面就不用再重複了。

因此說，向量是很厲害的，只要你找到合適的基，用向量能夠表示線性空間裏任何一個對象。這裏頭大有文章，由於向量表面上只是一列數，可是其實因爲它的有序性，因此除了這些數自己攜帶的信息以外，還能夠在每一個數的對應位置上攜帶信息。爲何在程序設計中數組最簡單，卻又威力無窮呢？根本緣由就在於此。這是另外一個問題了，這裏就不說了。

2. 線性空間中的運動如何表述的？

下面來回答第二個問題，這個問題的回答會涉及到線性代數的一個最根本的問題。

線性空間中的運動，被稱爲線性變換。也就是說，你從線性空間中的一個點運動到任意的另一個點，均可以經過一個線性變化來完成。那麼，線性變換如何表示呢？頗有意思，在線性空間中，當你選定一組基以後，不只能夠用一個向量來描述空間中的任何一個對象，並且能夠用矩陣來描述該空間中的任何一個運動（變換）。而使某個對象發生對應運動的方法，就是用表明那個運動的矩陣，乘以表明那個對象的向量。

簡而言之，在線性空間中選定基以後，向量刻畫對象，矩陣刻畫對象的運動，用矩陣與向量的乘法施加運動。

是的，矩陣的本質是運動的描述。若是之後有人問你矩陣是什麼，那麼你就能夠響亮地告訴他，矩陣的本質是運動的描述。

但是多麼有意思啊，向量自己不是也能夠當作是n x 1矩陣嗎？這實在是很奇妙，一個空間中的對象和運動居然能夠用相類同的方式表示。能說這是巧合嗎？若是是巧合的話，那可真是幸運的巧合！能夠說，線性代數中大多數奇妙的性質，均與這個巧合有直接的關係。

做者：myan
來源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/myan/article/details/647511