關於機率指望

目錄

• 機率指望
  • 先說幾個基礎概念
  • 機率怎麼求
  • 機率的性質
  • 古典概型
  • 再說幾個基礎概念
  • 隨機變量的指望值
  • 隨機變量小例題
  • 指望的線性性
    • 證實:
    • 完整連貫無解釋版
  • 指望步數
  • 對於離散變量X
  • 指望的線性性小例題
  • 例題摘選
    • 1. 湊齊整數
    • 2.當老大的機率
    • 3.誰在前面誰在後面

機率指望

感謝gzy學長

先說幾個基礎概念

（本人是這樣理解的）

隨機現象 ： 有機率出現的現象，好比明天會下雨
必然現象 ： 必定會出現的現象，好比 acioi天下第一帥 太陽會從東邊升起
樣本空間 ：是一個集合，通常用S表示，包括所有可以出現的現象
元素 ：通常用e來表示，某個可以出現的現象，\(e \in S\)
隨機事件 ： 和元素意義差很少都是S裏面的，通常用A表示，包含多個元素
集合運算 ：(全集爲S)
1. \(A\bigcup B\) ：A與B裏面的元素至少一個發生就能夠
2. \(A\bigcap B\) ：發生的元素在A中也在B中，還能夠表示爲\(A·B\),\(AB\)
3. \(A-B\) ： 屬於A可是並不屬於B的，也就是A和B中，A獨有的
4. \(\overline{AB}\)：\(\{e\notin A \bigcap B\}\)
P(A)：事件A發生的機率
隨機變量：有多種可能的取值變量，通常設爲X

機率怎麼求

隨機時間A發生的機率怎麼求呢？
隨機時間A發生的機率先用P(A)表示出來
A裏面可能包含多個元素，只要A裏面的元素中有一個發生了，那麼就是A發生了，隨意A發生的機率就是A中全部的元素髮生的機率和，即爲：
\[P(A) = \sum_{e\in A}P(e)\]

機率的性質

1.\(1 \ge P(A) \ge 0\)

由於一件事最低的機率就是不發生，也就是0，因此機率最低就是0，最高是必定發生，因此機率最高就是1

2.\(\sum\limits_{e\in S}P(e) = 1\)

全集S中的每一件事的機率加起來必定是1，由於無論發生S中的任意一件事，都在S裏面，因此S的機率就是100%，也就是1，裏面的每個元素髮生的機率都是這個100%裏面的一部分

3.\(P(\bigcup\limits_{i = 1}^{\infty}A_i) = \sum\limits_{i-1}^{\infty}P(A_i)\)
(\(A_i\)兩兩互斥)
很顯然，只是一個前後順序的轉換，能夠當作是今天你打算作n道菜，等於號前面的就是你先把n道菜作完再一塊兒吃，等於號後面就能夠當作你作完一道菜就吃一道菜。

古典概型

\[P(e) = \dfrac{1}{\left| S \right|}\]
若是每個元素出現的機率均等的話，那S裏面任意一個元素出現的機率就是S的大小分之1
\[P(A)=\dfrac{\left| A \right|}{\left| S \right|}\]
仍是上面的那個條件，每個元素出現的機率均等，那麼A集合出現的機率就是A集合中的元素個數除以S集合中的元素個數

再說幾個基礎概念

獨立事件：互不影響，知足\(P(A*B) = P(A) * P(B)\)
E(X)：表示X事件發生的指望
對於獨立事件：\(E(A\times B) = E(A) \times E(B)\)

隨機變量的指望值

對於隨機變量X，有公式：
\[E(X) = \sum P(X = i) \times i\]
什麼意思呢？
假設每個隨機變量x都有本身的值，\(X_i\)對應的隨機變量值就是i，那麼這個數的指望值就是\(X_i\)這個隨機變量出現的機率乘以他的值，即爲上面的公式

隨機變量小例題

求2次骰子投擲出的點數和的指望值

只須要枚舉兩個骰子投擲出的點數，他們的指望值就是這個狀況出現的概率乘以這個點數和
\(E(X_1 + X_2) = \sum\limits_{i=1}^6\sum\limits_{j=1}^6P(X=i)P(X=j)(i+j)\)

指望的線性性

\[E(X+Y) = E(X) + E(Y)\]

證實:

(再次感謝gyh小學妹,感謝gzy學長)
（下面是分佈來介紹的，若是以爲本身能夠，看後面完整連貫無解釋版的）
\(E(X+Y)=\sum\limits_{i=1}\sum\limits_{j=1}P(X=i)P(X=j)(i+j)\)
\(=\sum\limits_{i=1}\sum\limits_{j=1}(i\times P(X=i)\times P(X=j)+j\times P(X=i)\times P(X=j))\)
\(=\sum\limits_{i=1}i\times P(X=i)\times P(X=j) + \sum\limits_{j=1}j\times P(X=i)\times P(X=j))\)
由於
\(E(X) = \sum\limits_{i=1}P(X=i) \times i\)
\(E(Y) = \sum\limits_{i=j}P(Y=j) \times j\)
因此上面沒有完成的式子
\(=E(X)\times P(X=j) + E(Y)\times P(Y = i)\)
這個時候有用到了一開始的
\(\sum\limits_{e\in S}P(e) = 1\)
而\(P(X=i)\)的意思就是S集合裏面的所有數的機率加起來
\(P(Y=j)\)等同，這兩個都和\(\sum\limits_{e\in S}P(e)\)的意思同樣，因此都等於1
因此再一次繼續沒完成的式子:
\(=E(X)\times 1 + E(Y) \times 1\)
\(=E(X) + E(Y)\)

完整連貫無解釋版

\(E(X+Y)=\sum\limits_{i=1}\sum\limits_{j=1}P(X=i)P(X=j)(i+j)\)
\(=\sum\limits_{i=1}\sum\limits_{j=1}(i\times P(X=i)\times P(X=j)+j\times >P(X=i)\times P(X=j))\)
\(=\sum\limits_{i=1}i\times P(X=i)\times P(X=j) + \sum\limits_{j=1}j\times >P(X=i)\times P(X=j))\)
\(=E(X)\times P(X=j) + E(Y)\times P(Y = i)\)
\(=E(X)\times 1 + E(Y) \times 1\)
\(=E(X) + E(Y)\)

指望步數

指望步數我也不知道到底有沒有這麼一個定義，是我本身理解的
指的是指望第一次發生
機率爲P的時間指望\(\dfrac {1}{p}\)次後發生

對於離散變量X

對於離散變量X，\(P(X=k)=P(X\le k) - P(X\le{k-1})\)

指望的線性性小例題

n個隨機變量X[1……n]，每一個隨機變量都是從1-S中隨機一個整數求Max(X[1……n])的指望
Max(X[1……n])指的是這一段數中最大的數

\(E(Max(X[1……n])) = \sum\limits_{i=1}^SP(Max(X[1……n]) = i) \times i\)
\(=\sum\limits_{i=1}^S[P(M\le i) - P(M\le {i-1})] \times i\)
\(=\sum\limits_{i=1}^S[(\dfrac{i}{S})^n - (\dfrac{i-1}{S})^n] \times i\)

先解釋一下第一步，爲何出來了\(P(M\le i) - P(M\le {i-1})\)，這就用到了前綴和的思想了，\(P(M\le i) - P(M\le {i-1}) = P(M=i)\)這很顯然就是正確的，因此原式到第一步沒有問題，可是這樣作有什麼意義呢？

不着急，且看第二步
這樣看一下，\(P(M\le i)\)的機率，先看\(P(M\le i)\)，就是每個數都是小於等於i的狀況那麼一位是小於等於i的機率就是\(\dfrac{i}{S}\)，因此n位都小於等於i的機率就是\((\dfrac{i}{S})^n\)，同理\((\dfrac{i-1}{S})^n\)也能夠求出來了。

\(P(Max(X[1……n]) = i)\)是很難求的，可是進行完第一步以後就很好算了，這就是第一二步的意義所在了。

例題摘選

（名字是我本身取的不喜勿噴）

1. 湊齊整數

每次隨機一個[1,n]的整數，問指望幾回可以湊齊全部的整數

令：\(A_i\)表示湊完了\(i-1\)個數，湊第\(i\)的指望步數
一共有\(n\)個數，湊完了\(i-1\)個，那就還有\(n-(i-1)\)個數，即\(n-i+1\)個數沒有出現，因此第\(i\)個位置出現一個以前沒有出現過的數的機率就是\(\dfrac{n-i+1}{n}\)，因此指望步數就是\(\dfrac{1}{p}\)，等於\(\dfrac{n}{n-i+1}\)
式子：
\[E(\sum\limits_{i=1}^nA_i) = \sum\limits_{i=1}^nE(A_i)=\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{n}{n-i+1}\]

2.當老大的機率

隨機一個長度爲n的排列P，求P[1……i]中P[i]是最大數的機率

只有兩種可能P是最大數，P不是最大數，因此機率就是\(\dfrac{1}{2}\)
.........
很無語，雖然這麼思考百分之99都是錯誤的，可是用在這裏恰好合適，等價的思想，嗯。

3.誰在前面誰在後面

隨機一個長度爲n的排列P，求i在j後面的機率

嗯，又是和上面同樣只有兩種可能i在j前面和i在j後面，因此可能性又是
\(\dfrac{1}{2}\)，等價的思想。
不過想要嚴格證實一下也是能夠的：
\[\dfrac{C_n^2(n-2)!}{2n!}\] n個數裏面取2個數，剩下的直接拍序，組合的方式是(n-2)的階乘種，而後總的方案數是n!種，因此機率就是n個數裏面取2個數的方案乘以(n-2)!再除以n!，不過單純的取2個數有i在j前面也有i在j後面的可能，各佔一半的機率，因此再除以2就是最後的結果了。