02-矩陣消元

本博客是學習MIT-線性代數筆記，Gilbert Strang大神講的通俗易懂，感興趣的能夠觀看視頻

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1、消元

　如今咱們有一個方程組，如何求解呢？消元法是個不錯的方法：

$\begin{array}{c}{x+2 y+z=2} \\ {3 x+8 y+z=12} \\ {4 y+z=2}\end{array}$

　咱們用矩陣形式來表示上面的方程組：

$A=\left|\begin{array}{lll}{1} & {2} & {1} \\ {3} & {8} & {1} \\ {0} & {4} & {1}\end{array}\right|$

$b=\left|\begin{array}{c}{2} \\ {12} \\ {2}\end{array}\right|$

$x=\left|\begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right|$

　要求解方程組，也就是咱們須要獲取一個向量$x$，使得：

$Ax=b$

 

　如何進行消元呢？ 消元的目的就是把矩陣$A$變成上三角矩陣$U$：

$A=\left|\begin{array}{lll}{1} & {2} & {1} \\ {3} & {8} & {1} \\ {0} & {4} & {1}\end{array}\right|$ ===》（第二行減去第一行乘以3）$\left|\begin{array}{lll}{1} & {2} & {1} \\ {0} & {2} & {-2} \\ {0} & {4} & {1}\end{array}\right|$ ===》（第三行減去第二行乘以2）$U=\left|\begin{array}{ccc}{1} & {2} & {1} \\ {0} & {2} & {-2} \\ {0} & {0} & {5}\end{array}\right|$

注意：這裏的1，2，5是主元，消元的過程當中主元不能是0

　對向量$b$執行相同的操做：

$b=\left|\begin{array}{c}{2} \\ {12} \\ {2}\end{array}\right|$ ===》（第二行減去第一行乘以3）$\left|\begin{array}{c}{2} \\ {6} \\ {2}\end{array}\right|$ ===》（第三行減去第二行乘以2）$c=\left|\begin{array}{c}{2} \\ {6} \\ {-10}\end{array}\right|$

通過消元，其實咱們得到下面的方程組：

$\begin{aligned} x+2 y+z &=2 \\ 2 y-2 z &=6 \\ 5 z &=-10 \end{aligned}$

　而後回代：

$5z=-10$，因此$z=-2$，從而求得$x=\left|\begin{array}{c}{2} \\ {1} \\ {-2}\end{array}\right|$

 

2、行向量與矩陣相乘

　前面咱們講了矩陣和列向量相乘，幾何意義就是矩陣列向量的線性組合，若是咱們反過來呢？

　咱們想一想一個行向量和矩陣相乘的意義又是什麼呢？能夠理解成矩陣的行向量的線性組合

 3、矩陣消元能夠藉助一個矩陣來實現

　前面已經講解了矩陣和列向量相乘的幾何解釋（矩陣列向量的線性組合），又反過來說了行向量和矩陣相乘的幾何解釋（矩陣行向量的線性組合）

　有了前面兩步講解，咱們知道消元的過程，每一步消元的結果能夠經過矩陣來實現，好比：上面第一步講解中第二行減去第一行乘以3

$A=\left|\begin{array}{lll}{1} & {2} & {1} \\ {3} & {8} & {1} \\ {0} & {4} & {1}\end{array}\right|$ ===》（第二行減去第一行乘以3）$\left|\begin{array}{lll}{1} & {2} & {1} \\ {0} & {2} & {-2} \\ {0} & {4} & {1}\end{array}\right|$

這一步如何藉助一個矩陣來實現呢？

　經過消元過程咱們發現該步驟是矩陣的行進行了線性組合，原來單位矩陣$E=\left|\begin{array}{lll}{1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {1}\end{array}\right|$，單位矩陣與任何矩陣相乘仍是矩陣自己，對該單位矩陣進行行的線性組合：第二行減去第一行乘以3，即

$E_{21}=\left|\begin{array}{lll}{1} & {0} & {0} \\ {-3} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {1}\end{array}\right|$

也就是這個矩陣與原矩陣相乘獲得消元后的矩陣

$\left|\begin{array}{lll}{1} & {2} & {1} \\ {0} & {2} & {-2} \\ {0} & {4} & {1}\end{array}\right|$

 

　而第二步是第三行減去第二行乘以2，咱們須要什麼樣的矩陣來實現這個過程呢？同理，應該從單位矩陣轉化而來：

 $E_{32}=\left|\begin{array}{lll}{1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \\ {0} & {-2} & {1}\end{array}\right|$

　注意：上面的E表明單位矩陣，E數字下標表明初等矩陣（單位矩陣一步轉化而來）

　綜上：消元的每個咱們均可以用一個初等矩陣來實現，咱們把每個合併，即$E_{32}(E_{21}A) = U$，$U$表示消元后矩陣（你看看有多麼的簡潔明瞭）

　思考一下：若是如今我想從$A$矩陣一步到位獲得消元矩陣$U$，能夠藉助哪一個矩陣來實現呢？矩陣結合率告訴咱們這個幫忙的矩陣會是：$(E_{32}E_{21})$，即$(E_{32}E_{21})A=U$

 

4、如何檢驗結果矩陣中的某一元素的來源？

　好比：如今要檢驗結果矩陣中第二行第三列元素的來源

 

 

　這個-2來自第一個矩陣的第二行和第二個矩陣的第三列的點乘