直觀的數學：度量張量簡介

直觀的數學：度量張量簡介

By maplewizard maplewizard@qq.com

這篇文章主要介紹度量張量的起源及它的基本應用。張量是19世紀以來比較偉大的數學發明之一，它的發明伴隨着微分幾何的提出，爲在流形上進行各類運算提供了可能。在這裏主要講解度量張量。首先咱們來看一看咱們須要解決一個什麼問題，而後針對這個問題提出一種新的解決思路，最後講解度量張量的使用。

1、問題提出

在物理學中，常用到內積運算，好比求一個力所作的功，咱們有：

$$W=\vec{F}\cdot\vec{S}$$

這個公式很簡單，計算的時候將[latex]\vec{F}[/latex]和[latex]\vec{S}[/latex]的各個份量乘起來再相加即等於內積。可是若是[latex]\vec{F}[/latex]和[latex]\vec{S}[/latex]定義在其餘座標系（如非正交的座標系）下，那麼直接用各個份量乘起來再相加得出的功就會有所不一樣！而根據咱們的常識，功應該和座標系的選擇無關，也就是說，兩個向量的內積是與座標無關的，咱們能夠猜測點乘或許在某種狀況下不等於內積。那麼咱們就須要引入一種對內積的新的認識。本文即將討論如何用點乘在全部座標系下表示出內積，這種表示中就用到了度量張量。

2、解決思路

爲了解決這個問題，咱們先引入幾個基本概念，首先是愛因斯坦求和約定，其次是克羅內克符號，最後是逆變座標和協變座標。

2.1愛因斯坦求和約定

咱們定義: $$ a_i b_i=\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\cdot b_i$$ $$ a_{ij} b_j=\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}\cdot b_j$$ 這種表示具備如下規律： 1）  重複兩次的指標是求和的啞指標 2）  出現一次的指標和本次運算沒有什麼關係

2.2克羅內克符號（Kronecker）

定義克羅內克（Kronecker）符號 $$\delta_i^j=\left\{ \begin{align}& 1 \quad(i=j)\\& 0\quad(i\not =j)   \end{align}\right.$$

2.3協變座標與逆變座標

對於一個非正交的座標，它的基是非正交的，長度亦是不肯定的。這組座標叫作協變座標基（當座標系統放大或縮小時，它亦隨之放大或縮小）咱們引入它的逆變座標的概念。設協變座標基爲[latex]\{\boldsymbol{g_i}\}[/latex]，而其逆變座標基記做[latex]\left\{\boldsymbol{g^i}\right\}[/latex](注意區分上標與指數)，對於[latex]\boldsymbol{g^i}[/latex]有 $$\left\{ \begin{aligned}     \boldsymbol{g_i \cdot g^j}=0 \quad (i\not = j) \\  \boldsymbol{g_i \cdot g^i}=1       \end{aligned}\right.$$ 便是說每個[latex]\boldsymbol{g^i}[/latex]對應於一個已有的[latex]\boldsymbol{g_i},\boldsymbol{g^i}[/latex]與其餘全部的[latex]\boldsymbol{g_j}[/latex]都垂直，與其對應的[latex]\boldsymbol{g^i}[/latex]內積爲1。以下圖所示： 圖中，[latex]\boldsymbol{P}[/latex]能夠被分解它的協變座標[latex]\boldsymbol{g_1,g_2}[/latex]上，對應的係數分別爲[latex]p^1,p^2[/latex]。咱們有：

$$P=p^1 \boldsymbol{g_1}+p^2 \boldsymbol{g_2}$$

通過簡單的幾何規則，咱們很容易看出向量[latex]\boldsymbol{P}[/latex]在協變座標上的份量等於[latex]\boldsymbol{P}[/latex]與其逆變份量的內積： $$p^\alpha = \boldsymbol{P \cdot g^\alpha}$$ 這也就是咱們爲何要引入協變座標和逆變座標。逆變座標與斜邊座標互爲對偶，而一個向量在一個非正交座標系上的係數等於它與其對偶座標的內積。咱們使用直角座標系的時候，由於協變座標與逆變座標是重合的，因此咱們能夠方便地和本身作內積就能獲得係數，在推廣的非正交座標系下，係數是與其對偶座標的內積。

2.4新觀點下的內積

經過以上的研究，咱們來看看內積與點乘。將[latex]\boldsymbol{F,S}[/latex]用協變座標表出（在這使用了愛因斯坦求和約定）： $$\boldsymbol{F}=f^i\boldsymbol{g_i}$$ $$\boldsymbol{S}=s^i\boldsymbol{g_i}$$ 若是直接採用座標相點乘，咱們獲得： $$W=\boldsymbol{F\cdot S}=f^i \boldsymbol{g_i} s^i\boldsymbol{g_i}=f^i s^i \boldsymbol{g_i \cdot g_i}$$ 經過上式咱們能夠看出，內積和點乘差了一項[latex]\boldsymbol{g_i \cdot g_i}[/latex]一旦這項不爲1，則點乘和內積不相等。所以若是所有采用逆變座標乘起來的話，這個值是與座標相關的！爲了解決這個問題，咱們在須要求內積的時候採用逆變座標與斜邊座標點乘的形式。推導以下： $$W=\boldsymbol{F\cdot S}=f^i \boldsymbol{g_i} s_i\boldsymbol{g^i}=f^i s_i \boldsymbol{g_i \cdot g^i}= f^i s_i$$ 可是咱們一般要求內積的兩個向量都是協變座標或者都是逆變座標。那麼咱們如何來解決這個問題？這就涉及到了度量張量的使用。

3、度量張量的使用

經過上面的敘述，咱們知道，求兩個向量的內積，必須一個用它的協變座標，另外一個用逆變座標。而在一般狀況下，咱們只有兩個的協變座標（或逆變座標），這個時候，咱們就須要引入一個叫度量張量的東西，來輔助計算。 咱們首先將逆變張量在協變座標系下進行分解，咱們有： $$\boldsymbol{g_i}=g_{ij}\boldsymbol{g^j}$$ （注意觀察[latex]g_{ij}[/latex]有相似於降座標的功能）而[latex]g_{ij}[/latex]可表示以下： $$\boldsymbol{g_i \cdot g_j}=g_{ik}\boldsymbol{g^k \cdot g^j}=g^{ik}\delta^i_k=g_{ij}$$ $$\boldsymbol{F \cdot S}= f^i \boldsymbol{g_i} s^i\boldsymbol{g_i}=f^i g_{ij}\boldsymbol{g^j} s^i\boldsymbol{g_i}= g_{ij} f^i s^i \boldsymbol{g^j \cdot g_i}= g_{ij} f^i s^i \delta^j_i = g_{ij} f^i s^j$$ 經過上式能夠看出，兩個向量的內積等於他們的座標點乘，再乘上一個係數，而這個係數就叫作度量張量。換句話說，有了度量張量咱們就可以經過向量座標計算任意座標系下的內積。