時間複雜度

計算時，忽略掉T(n)中的常量、低次冪和最高次冪的係數

複雜度與時間效率的關係：
c < log2n < n < n*log2n < n2 < n3 < 2n < 3n < n! （c是一個常量）
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          較好                     通常              較差
其中c是一個常量，若是一個算法的複雜度爲c 、 log2n 、n 、 n*log2n,那麼這個算法時間效率比較高 ，若是是 2n , 3n ,n!,那麼稍微大一些的n就會令這個算法不能動了，居於中間的幾個則差強人意。

 

例子：

O(1)
交換i和j的內容
temp=i;
i=j;
j=temp;                   
以上三條單個語句的頻度爲1，該程序段的執行時間是一個與問題規模n無關的常數。算法的時間複雜度爲常數階，記做T(n)=O(1)。若是算法的執行時間不隨着問題規模n的增長而增加，即便算法中有上千條語句，其執行時間也不過是一個較大的常數。此類算法的時間複雜度是O(1)。
O(n2)
    sum=0；                /* 執行次數1 */
    for(i=1;i<=n;i++)     
       for(j=1;j<=n;j++)
         sum++；       /* 執行次數n2 */
解：T(n) = 1 + n2 = O(n2)
   for (i=1;i<n;i++)
   {
       y=y+1;        ①  
       for (j=0;j<=(2*n);j++)   
          x++;        ②     
   }        
解：  語句1的頻度是n-1
         語句2的頻度是(n-1)*(2n+1) = 2n2-n-1
         T(n) = 2n2-n-1+(n-1) = 2n2-2
         f(n) = n2
         lim(T(n)/f(n)) = 2 + 2*(1/n2) = 2
         T(n) = O(n2).
O(n)   
   a=0;
   b=1;                     ①
   for (i=1;i<=n;i++) ②
   { 
      s=a+b;　　　　③
      b=a;　　　　　④ 
      a=s;　　　　　⑤
   }
解：  語句1的頻度：2,       
         語句2的頻度：n,       
         語句3的頻度：n,       
         語句4的頻度：n,   
         語句5的頻度：n,                                 
         T(n) = 2+4n
         f(n) = n
         lim(T(n)/f(n)) = 2*(1/n) + 4 = 4
         T(n) = O(n).    
O(log2n)
   i=1;       ①
   while (i<=n)
      i=i*2; ②
解： 語句1的頻度是1,
       設語句2的頻度是t,  則：nt<=n;  t<=log2n
       考慮最壞狀況，取最大值t=log2n,
        T(n) = 1 + log2n
        f(n) = log2n
        lim(T(n)/f(n)) = 1/log2n + 1 = 1
        T(n) = O(log2n)
O(n3)
   for(i=0;i<n;i++)
   {
      for(j=0;j<i;j++)
      {
         for(k=0;k<j;k++)
            x=x+2;
      }
   }
解：當i=m, j=k的時候,內層循環的次數爲k當i=m時, j 能夠取 0,1,...,m-1 ,  因此這裏最內循環共進行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次因此,i從0取到n, 則循環共進行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/2次
T(n) = n(n+1)(n-1)/2 = (n3-n)/2
f(n) = n3
因此時間複雜度爲O(n3)。