時間複雜度

時間複雜度

一直對時間複雜度的概念不弄明白，今天就總結來作筆記學習吧

時間複雜度是總運算次數表達式中受n的變化影響最大的那一項(不含係數)

(1)   for(i=1;i<=n;i++)   //循環了n*n次，固然是O(n^2)
            for(j=1;j<=n;j++)
                 s++;
(2)   for(i=1;i<=n;i++)//循環了(n+n-1+n-2+...+1)≈(n^2)/2，由於時間複雜度是不考慮係數的，因此也是O(n^2)
            for(j=i;j<=n;j++)
                 s++;
(3)   for(i=1;i<=n;i++)//循環了(1+2+3+...+n)≈(n^2)/2,固然也是O(n^2)
            for(j=1;j<=i;j++)
                 s++;
(4)   i=1;k=0;

      while(i<=n-1){

           k+=10*i;

i++; }

//循環了

n-1≈n次，因此是O(n)

(5) for(i=1;i<=n;i++)

             for(j=1;j<=i;j++)

                 for(k=1;k<=j;k++)

                       x=x+1;

//

循環了(1^2+2^2+3^2+...+n^2)=n(n+1)(2n+1)/6(這個公式要記住哦)≈(n^3)/3，不考慮係數，天然是O(n^3)

另外，在時間複雜度中，log(2,n)(以2爲底)與lg(n)(以10爲底)是等價的，由於對數換底公式：

log(a,b)=log(c,b)/log(c,a)
因此，log(2,n)=log(2,10)*lg(n),忽略掉係數，兩者固然是等價的

常見的時間複雜度

按數量級遞增排列，常見的時間複雜度有：

常數階O(1),  對數階O(log2n),  線性階O(n),  線性對數階O(nlog2n),  平方階O(n^2)， 立方階O(n^3),...， k次方階O(n^k), 指數階O(2^n) 。

其中，

1.O(n)，O(n^2)， 立方階O(n^3),...， k次方階O(n^k) 爲多項式階時間複雜度，分別稱爲一階時間複雜度，二階時間複雜度。。。。

2.O(2^n)，指數階時間複雜度，該種不實用

3.對數階O(log2n),   線性對數階O(nlog2n)，除了常數階之外，該種效率最高


例：

int count = 1;

while (count < n)

{    

count = count * 2; /* 時間複雜度爲O(1)的程序步驟序列 */

}

 

 

因爲每次count乘以2以後，就距離n更近了一分。

也就是說，有多少個2相乘後大於n，則會退出循環。

由2x=n獲得x=log2n。因此這個循環的時間複雜度爲O(logn)。