極化碼之tal-vardy算法（2）

 

　　上一節咱們瞭解了tal-vardy算法的大體原理，對所要研究的二元輸入無記憶對稱信道進行了介紹，並着重介紹了可以避免輸出爆炸災難的合併操做，這一節咱們來關注信道弱化與強化操做。

 

　　【1】《Channel polarization: A method for constructing capacity-achieving codes for symmetric binary-input memoryless channels》Erdal Arıkan

　　【2】《How to Construct Polar Codes》Ido Tal,  Alexander Vardy

 

Part1.信道弱化與信道強化

 

　　信道弱化：

　　　　咱們給出一個信道。對於信道，若是存在一箇中間信道使得對於全部的都有：

　　　　那麼咱們記：，指代信道Q相對於信道W是弱化的。

　　　　很容易證實下面這些性質：

　　　　1） 這種「弱化」是具備傳遞性的，相似a≤b，b≤c，則a≤c。

　　　　2） 咱們定義「弱化」操做中的恆等性質，相似a≤b，b≤a，則a≡b。

　　　　3） 這種恆等性質具備對稱性，相似a≡b，則b≡a。

　　對於信道的強化操做，這裏就再也不解釋了。實際上，只須要把上式中的信道W和信道Q調換一下位置，就可以的獲得信道強化的操做，以及相似的公式和下面的性質。

　　經過弱化操做後獲得的弱化信道Q，咱們重點關注它的三個參數。不過，在那以前咱們先來看一下原始信道W的參數狀況。

　　對於一個二元無記憶對稱信道W：

　　<1> 信道錯誤機率Pe：

　　　　咱們假設Pe(W)爲最大似然判決下的錯誤機率，若是輸入服從等機率分佈（即傳輸0和1的機率都爲1/2），那麼咱們能夠獲得：

　　<2> 巴氏參數Z(W)：

　　<3> 信道容量I(W)：

　　由W獲得的弱化信道的參數變化狀況以下：

　　論文中並無直接給出後兩個結論的導出，第二個結論在論文的參考文獻中已經被嚴格證實，第三個結論在第二個結論的基礎上能夠被證實。這兩個證實超出了個人能力範圍，須要證實的能夠從論文參考文獻給出的引用目錄裏面去找。咱們重點來關注第一個公式，以及它的證實。

　　如上爲證實過程，由第一步到第二步很好理解，直接把定義公式代入就行。從第二步到第三步須要稍稍解釋一下。

　　咱們能夠先忽略掉最外層的1/2倍乘和對z的求和，對比後面的內容。

• 第二步的運算邏輯順序爲，先求和、再挑選最小值；
• 第三步的運算邏輯順序爲，先挑選最小值、再求和。

　　這兩種操做形成差別的緣由就在於運算的邏輯順序問題。

　　第二步的式子中，咱們把W(y|0)和W(y|1)看作兩個總體，忽略總體中每個加數的細節，關注總體的大小，再取兩個總體的最小值。

　　第三步的式子中，咱們將W(y|0)和W(y|1)拆開來看，咱們逐項拿出數對進行對比，只留下較小的那一項，這樣最後相加的加數項的每一項，都是它所對應的那一對數中的較小者，這樣的一組加數相加獲得的和必定是小於等於第二步的。

　　固然，這只是一種定性的分析，咱們也能夠用數學語言去描述它，讓它在形式上更加嚴謹。

　　

　　弱化操做

　　在介紹信道弱化操做前，讓咱們先來回顧一下Arikan遞推公式。tal-vardy算法每一步只操做兩個信道，所以咱們關注Arikan對單步信道轉化的描述。

　　【1】-I-E中明確指出，兩個獨立的二元輸入信道副本W:X→Y可以經過單步信道轉化，變成一對二元輸入信道：和。其中輸出字符集的映射關係爲：。信道轉移機率之間的關係爲：

 　　【2】中對這兩種信道操做進行了從新定義。【2】提出了兩種符號分別用來表徵這兩種信道轉化操做。第一種操做記爲：，第二種操做記爲：。所以，咱們獲得：

　　從【1】中的介紹，咱們發現，原始信道副本的輸入字符集爲{0,1}，長度爲2；假設輸出字符集長度爲 「2L」，則經過第一種信道操做獲得的信道 W' 的輸出字符集長度爲「2L×2L」，經過第二種信道操做獲得的信道 W'' 的輸出字符集長度爲 「(2L)²×2」。這個結論很重要，與接下來的信道操做有關。

　　這個現象很好說明，兩個W信道副本都只有兩個輸出字符，分別爲y一、y2和它們的共軛，2L=2。假設咱們簡記y→0，→1。則第一種信道操做的輸出字符集有2L×2L=4，四種可能——{00,01,10,11}；第二種信道有2×(2L)²=8，八種可能——{000,001,010,011,100,101,110,111}。能夠看到，隨着單步信道轉化的進行，信道的輸出字符集長度將隨着轉化次數的增長爆炸增加。在碼長較大時，這將使得極化碼的構造計算複雜度變得不可控制，咱們以前介紹的合併函數就是爲了解決這個問題而存在的。

　　【2】中的引理5是信道弱化操做的核心理論。

Lemma5　　

　　給定一個二元輸入的信道 W:X→Y ，設：

　　假設Q是W的弱化信道：，並記：

　　則，咱們能夠獲得：

　　　　　　　　　　　　　　　　　  且 

　　這個引理對於強化操做，同樣成立，只須要將上述的Q和W互相調換位置。

　　引理5的證實位於【2】Page6。

　　引理5告訴咱們，一個弱化信道，即便對它進行信道轉化操做後，它依然是一個弱化信道。

　　【2】中對信道弱化操做部分作了與合併函數一樣的描述方式，將信道弱化操做視爲一個函數。函數的輸入爲原始BMS信道W，以及指定輸出字符集長度μ；函數輸出爲一個弱化BMS信道Q，Q的輸出字符集最大不超過μ。

 

　　信道極化操做

　　在信道極化過程當中，對於信道轉化方法的選擇問題（即在每個節點判斷進行信道操做1，仍是信道操做2），能夠視爲一個二進制樹的生成。在【1】中Arikan爲咱們展現了這樣一張圖：

　　咱們暫且稱其爲「碼樹」。

　　碼樹的根爲原始的信道副本，在每一級code_level上都會產生兩個分支，上分支使用第一個信道轉化公式，下分支使用第二個信道轉化公式。咱們以上圖爲例，N=2^n=8，n=3。n即code_level，表示樹的深度；N即code_length，表示樹的廣度。藉助二進制數，咱們能夠很容易的找到從樹根到樹梢的路徑。例如，當 i 取5時，咱們將 i-1 轉化爲位數爲 n=3 的二進制數：(5-1)₁₀→(100)_2。對應到碼樹中，從樹根開始，三級分支分別取下、上、上分支，使用相應的信道操做，就可以獲得這一極化信道。

　　所以，在信道操做中，咱們能夠將信道指數（channel index）轉化爲二進制數，經過逐位讀取並進行判斷，使用相應的信道操做，就可以實現信道極化。【2】中給出了一個很是清晰的算法思路：

　　算法複雜度

　　在上面的算法中，咱們假設每次執行合併函數的時間爲，遵循上述算法A中的符號使用規則，對於n個信道來講，因爲每一個信道指數有m位，所以總共調用合併函數的次數爲n·m次，用時。可是，因爲許多中間信道的計算是在作重複性的工做，所以，實際計算不一樣信道的次數爲（2n-1-1）次，所以總的時間複雜度應該爲，也即。

　　

　　實際上，咱們可以利用對稱信道的特色，進一步下降計算複雜度。

　　還記得咱們在上一節強調過的Arikan給出的定理13嗎？

　　因爲咱們的信道操做是單步進行的，每一次只進行兩個信道的合併，在上圖的（58）式中，取N=2，i=1，咱們能夠獲得第一種信道操做的對應公式：　　其中，G2=[1 0; 1 1]。不失通常性的，咱們假設發送的比特爲0，即u1=0，而且，咱們令等式右端的發送端等於1（即令a1=1），能夠獲得：

　　【咱們爲何要這麼作？】

　　【回憶一下對稱信道的定義之中，有這樣一條：】　　【顯然，咱們這樣作的目的是爲了獲得字符對（y1，y2）的共軛對。】

　　當a2分別取0、1時，有：

　　也即，有兩個共軛對，一個是，另外一個是。對上式進一步的轉化，咱們能夠發現，容易獲得：

　　以及：

　　通俗來講，上面這一番計算的意義在於，在信道轉化操做以後，咱們沒有必要計算輸出字符集中每個字符的轉移機率。實際上，咱們只須要對一半字符進行計算。

　　相似的，咱們能夠對第二種信道操做進行相似的計算，令i=2，則輸出字符集共有3個字符，能夠組成8中不一樣的組合，最後實際上只須要計算4種組合。

 

　　本節的內容就是這樣，下一節咱們將討論如何對BAWGN信道使用tal-vardy算法。