極化碼小結（2）

Chapter2 極化碼的編碼

　　極化碼的編碼問題主要包括兩個方面。

　　首先是生成矩陣的構造：

生成矩陣G_N：

　　先來看信道合併示意圖，下圖截自Arikan論文（之後再也不解釋，Arikan論文 特指論文《Channel polarization: A method for constructing capacity-achieving codes for symmetric binary-input memoryless channels》）：

　　請讀者留意這是fig.3，也即圖三。根據這張圖所表現的形式，咱們能夠概括出G_N的表達式：

疑問：這個表達式如何獲得？它與上圖有什麼對應關係？

　　咱們來看等式右端第一部分：

　　觀察R_N前面的表達式，符號「」是一種矩陣運算，稱爲「克羅內克積」，詳細內容讀者可自行查閱維基百科詞條：克羅內克積-維基百科；「F」定義爲矩陣，F的定義又有何意義呢？咱們用一個二維向量來測試一下：，可見用輸入向量左乘F矩陣，就可以實現圖中第一步線性變換。當N>2時，因爲F只有二維，爲了完成運算，咱們經過克羅內克積的辦法在保持F矩陣屬性的同時擴展它的維度，使得它知足咱們的運算要求。因此R_N前面的運算能夠與上圖中的線性變換對應起來。

　　R_N對應圖中的自身，這個不須要再說。

　　觀察R_N的右端，I₂爲二維的單位矩陣，G_N/2則體現了遞推、迭代的思想。用I₂與G_N進行克羅內克積，就是爲了實現生成矩陣的遞推和迭代。這部分對應了圖中最右端的操做。所以咱們能夠看到，Arikan給出的生成矩陣的定義式確實與上圖是徹底對應的。

　　接下來，Arikan又po出了另外一張圖：

　　這是fig.8，它與fig.3的不一樣之處在於，fig.3中先進行線性變換再進行置換操做，而fig.8中先進行置換操做再進行線性變換。根絕Arikan的說法，這兩個圖是全等的。fig.8對應的公式爲：，也就是說這兩個公式是等價的：

　　那麼這一步是如何獲得的呢？如何證實這兩個圖是全等的呢？這裏有一份我之前證實時留下的手稿，具體的過程我沒有精力再排版打出來，看客若是對這個證實有興趣，不妨做爲參考。不過這些細節就算不了解，也不妨礙咱們對極化碼理論的學習。就像數學教科書的上的許多定理公式，更多時候重點在於如何去理解和應用。

　　讓咱們回到Arikan的論文中，繼續看他是如何一步一步獲得G_N的構造方法的。

　　上面這個公式第一行咱們已經證實過了，從第一行到第二行的理論支持來自於克羅內克積的混合乘積性質：

　　圖片來自克羅內克積-維基百科

　　咱們繼續往下看：

　　這個就很好理解了，直接迭代代入G_N/2而後利用混合乘積性質的逆定理就能夠獲得了。重複上述操做，不斷進行迭代，最後咱們能夠獲得這樣一個式子：

　　其中B_N用來代替迭代所產生的式子：。B_N能夠寫成遞推公式：

　　獲得上面的公式以後，咱們很容易就能夠計算出B_N並求出G_N

　　再來看信息位的選取：

信息位選取：

　　經過上一節的介紹，咱們瞭解到了信道的極化現象，而且認識到正是信道極化現象催生了極化碼。如今，咱們就要利用這個現象來構造極化碼。根據咱們所設想的，經過在偏差率較低的信道（無噪信道）上傳輸有用信息，在偏差較高的信道（純噪信道）上傳輸信息量爲0的信息，咱們能夠實如今有噪信道下進行無噪傳輸。

　　所以，如何挑選要傳輸信息的信道成爲了相當重要的事情。在表徵信道質量的參數向量P中，咱們稱傳輸有用信息的位爲信息位，傳輸無用信息的位爲凍結位。問題變成了如何求出這個參數向量P。只要咱們求得這個P，而後對它進行從小到大的排序，再根據碼率肯定要用到多少信息位，而後從排好序的P中挑選出性能最好的那部分，就能夠實現咱們的需求。

　　Arikan的論文中這樣說道：「對於一個給定的B-DMC信道W，本論文對信道的兩個參數感興趣：一個是信道的對稱容量I(W)：

　　I(W)表明了等機率輸入下，經過信道W進行可靠信息傳輸的最大速率。第二個稱爲巴氏參數Z(W)：

　　巴氏參數表明了在一次經過W傳輸0或1時，最大似然判決錯誤機率的上限。顯然，Z(W)反映了信道的可靠度 。

　　顯然，咱們能夠分別將這兩個參數做爲參數向量P，對於I(W)，咱們選擇較大的I(W)做爲信息位；對於Z(W)，咱們選擇較小的Z(W)做爲信息位。

　　早期Arikan提出，當W爲BEC（二進制刪除信道）時，有，計算兩者中的任何一個均可以。Arikan論文中有Z(W)的遞推計算公式：

　　其中第二個式子的不等號在W爲BEC取等，所以咱們能夠精確的計算巴氏參數，並且計算複雜度也較低，爲O(NlogN)。

　　後來，Arikan給出了當W不爲BEC信道時的計算方法，他提出使用「Monte-Carlo算法」（蒙特卡羅法）來近似計算巴氏參數，然而，這個計算的複雜度因輸出符號集的指數型爆炸增加而變得不可能。

　　還有一種方法也用來進行巴氏參數的估計——Density Evolution（密度進化），可是這個方法缺點在於計算複雜度仍是較高（爲O(n)），同時精確度也很差。

　　目前咱們項目組所使用的信息位選擇採用的是tal-vardy所提出的算法。這種算法是Tal和Vardy於2013年發表在IEEE上的一篇21頁的論文中提出的，論文名爲《how to construct polar code》，感興趣的讀者能夠去了解一下。若是對英文閱讀感受到不舒服，讀者也能夠參考《極化碼編碼與譯碼算法研究》[王繼偉]在2.2.3節中對這種算法的較爲詳細的中文介紹。

　　這種算法主要經過信道弱化和信道強化操做，將的輸出符號集進行合併，使其可以具備符合咱們須要長度的輸出符號集大小。另外，對於咱們常常用到的AWGN信道，經過高斯近似（GA）方法能夠在很是低的複雜度下在較高的精確度上選擇信息位。這裏列出兩篇發表在IEEE上的參考論文，有興趣的讀者能夠自行去了解，這裏再也不展開說了。

　　【1】《Evaluation and Optimization of Gaussian Approximation for Polar Codes》.Jincheng Dai等.(2016.5)

　　【2】《Construction and Block Error Rate Analysis of Polar Codes Over AWGN Channel Based on Gaussian Approximation》.Daolong Wu等.(2014.7)

 　　除此以外，還有一種辦法能夠提升極化碼的構造效率。那就是使用「design-SNR」。

　　無論咱們採用什麼構造辦法，信息位的選取老是與SNR的取值密切相關。咱們在仿真極化碼性能的時候，每每會以SNR爲仿真圖的橫座標，以BER、FER爲縱座標，觀察曲線走向，經過對比曲線判斷優劣。可是每一次帶入新的SNR值，都要從新構造一個新的參數向量P，而後從新挑選信息位，這種傳統的構造方法咱們稱爲「point-by-point（逐點SNR）」。這種重複性的工做無疑增長了極化碼構造的時間複雜度。

　　經過研究，咱們發現，對於一個特定的碼率，總存在一個完美的SNR，咱們稱之爲「design-SNR（設計SNR）」，咱們只須要代入這個SNR進行一次參數向量P的構造，而後將挑選好的信息位儲存起來。之後在這個碼率下，不論在哪一個SNR值下進行仿真，咱們只代入預存的這個信息位進行極化碼的構造。因爲信息位只構造了一次，時間複雜度獲得了顯著下降。

　　根據仿真結果顯示，在碼長和碼塊較大的狀況下，design-SNR與point-by-point法契合的很是好，以下圖：

　　獲得了生成矩陣，又構造了信息位。接下來只須要進行簡單的矩陣操做，再疊加上噪聲，就能夠實現極化碼的編碼。