極化碼之tal-vardy算法（3）

考完駕照，回來填坑 /doge/doge

 

前兩節分別介紹了tal算法中的合併函數和信道操做兩個部分，咱們將高斯信道的應用放在最後一節來介紹。

 

　　在以前的介紹中，咱們一直在一個前提下進行討論——即輸入字符集是有限的。

　　可是，對於一個具備連續輸出字符集的信道，如經典的二元高斯信道，它也能夠是對稱信道，可是它的輸出是連續的，因此不能直接使用tal算法。爲了將tal算法應用於改信道，咱們就要對這個信道作一些近似。

　　整體思路相似微分思想，將連續輸出分紅若干個很是小的離散輸出。

　　咱們假設W爲一個具備連續輸出的BMS信道，且W知足如下幾點：

• W的輸出字符集爲實數集；
• f(y|0),f(y|1)爲輸出的機率分佈函數，輸入爲{0,1}；
• W的對稱性表現爲：f(y|0)=f(-y|1)，y∈R；
• 同時，爲了方便起見，咱們假設：f(y|0)≥f(y|1)，y≥0。

　　正如咱們所指望的那樣，BAWGN信道知足上面全部的假設。前兩個假設的成立是顯然的，對於後兩條假設，在BPSK調製下（0映射爲1,1映射爲-1），咱們能夠繪製出函數圖像。

圖1 高斯曲線對比

　　上圖中，高斯曲線的方差均爲1，均值分別爲1和-1，能夠看到，兩個曲線關於x = 0是對稱的，所以上面第三個假設成立。在x > 0 的區間顯然有第四個假設成立。

　　接下來，咱們定義y的似然比爲：　　根據定義，W的信道容量能夠表示爲：　　其中，在 λ ≥ 1 時，有;　　上面這兩個公式是從 tal 論文中直接截過來的，因爲水平有限，其推導過程我不得而知。

　　做者提到，C[λ] 的一個重要的性質是，它隨 λ 的增大呈嚴格遞增。從下圖中能夠很容易看出這一點：

圖2 C[λ] - λ

　　咱們前面已經說過，本節的思路在於經過微分思想，把連續輸出近似成爲離散輸出，而上面的介紹提供了 C[λ] 這樣一個參數，咱們能夠用它來做爲分割輸出字符集的依據。在論文中，做者是這樣進行區分的：

假設 μ=2*v 爲指定弱化/強化信道輸出字符集，i 取值範圍爲：1 ≤ i ≤ v-1，那麼，能夠對輸出集 y 做以下分割：其中，第二個不等號在 i 取 i=v 時變爲 「≤」。

　　咱們看到，在上面這個集合中，y 和 C 之間經過兩重映射關係聯繫到了一塊兒，而 C 被限制在了某個區間之中，所以y也相應的被分割成了若干個小段。

　　下面以弱化操做爲例進行講解：

　　主要內容圍繞着Lemma1五、Lemma16兩個引理展開，在介紹兩者以前，須要一些預約義。

　　咱們的BMS信道W知足本節最開始的四個假設，定義信道 ，其中，Z定義爲：

　　根據定義，咱們能夠很容易獲得Q的信道轉移機率表達式，以下，爲積分運算：

Lemma15 （在上述定義下的）信道 Q 是一個BMS信道，並且它是 W 的弱化信道：　　

　　這個引理的證實比較容易理解，Q顯然是一個BMS信道。只要咱們選擇中間信道P定義爲：　　那麼Q是W的弱化信道也是能夠理解的。

　Lemma16 Q 和 W 的信道容量之差能夠限制在以下區間中:

 　　對於 tal 算法在matlab下的實現，能夠作以下的介紹。

　　與以前同樣，咱們的程序設計仍是如下面的算法爲主要框架：　　在此基礎上，對於高斯信道來講，因爲它具備連續的輸出，所以它的轉移機率須要使用上面介紹的積分公式來計算。

　　爲了進行積分運算，咱們首先須要對 y 進行分區，而後才能在每個小分區內進行積分。

　　對 y 的分區依據就是上面提到的集合 Ai 。

　　其1、咱們能夠令 C[λ(y)] = i/v，求出對應的 λ(y)。

　　設 f(x) = C[λ] - i/v，令 f(x) = 0，求得根x的值，因爲表達式比較複雜，這一步能夠藉助「牛頓-拉夫遜方法」在matlab上完成，方法見超連接。

　　其2、獲得 λ 後，能夠根據 λ 與 y 的映射關係，求出 y 。

　　上面內容中， v 是輸出單元長度，i 是一個循環下標。i 的循環範圍爲 1~v，經過 i 的循環和調用上面兩個步驟，咱們能夠獲得若干的 y 值，實際上能夠把這些 y 值寫成向量形式。那麼，對於獲得的向量，相鄰兩個元素就是咱們求定積分所用到的上下限。

　　獲得了高斯信道的近似轉移機率，咱們就能夠將其視爲一個離散的BMS信道，接下來，按照前面的思路去進行弱化操做和合並操做，就可以在高斯信道下完成信息位的挑選任務了。