C語言程序設計100例之（9）：生理週期

時間 2019-11-17

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例9 生理週期

問題描述c++

人生來就有三個生理週期，分別爲體力、感情和智力週期，它們的週期長度爲 23 天、28 天和33 天。每個週期中有一天是高峯。在高峯這天，人會在相應的方面表現出色。例如，智力週期的高峯，人會思惟敏捷，精力容易高度集中。由於三個週期的周長不一樣，因此一般三個週期的高峯不會落在同一天。對於每一個人，咱們想知道什麼時候三個高峯落在同一天。算法

對於每一個週期，咱們會給出從當前年份的第一天開始，到出現高峯的天數（不必定是第一次高峯出現的時間）。你的任務是給定一個從當年第一天開始數的天數，輸出從給定時間開始（不包括給定時間）下一次三個高峯落在同一天的時間（距給定時間的天數）。例如：給定時間爲10，下次出現三個高峯同天的時間是12，則輸出2（注意這裏不是3）。編程

輸入數據數組

輸入四個整數：p, e, i 和d。 p, e, i 分別表示體力、情感和智力高峯出現的時間（時間從當年的第一天開始計算）。d 是給定的時間，可能小於p, e, 或 i。全部給定時間是非負的而且小於365, 所求的時間小於等於21252。優化

輸出要求spa

從給定時間起，下一次三個高峯同天的時間（距離給定時間的天數）。設計

輸入樣例3d

0 0 0 0blog

0 0 0 100ip

5 20 34 325

4 5 6 7

283 102 23 320

-1 -1 -1 -1

輸出樣例

Case 1: the next triple peak occurs in 21252 days.

Case 2: the next triple peak occurs in 21152 days.

Case 3: the next triple peak occurs in 19575 days.

Case 4: the next triple peak occurs in 16994 days.

Case 5: the next triple peak occurs in 8910 days.

（1）編程思路1。

假設從當年的第一天開始數，第k 天時三個高峯同時出現。符合問題要求的k必須大於d、小於等於21252（23×28×33），並知足下列三個條件：

1）(k-p) % 23 == 0

2）(k-e) % 28 == 0

3）(k-i) % 33 == 0

對區間[d+1，21252]中的每一個k都進行三個條件的判斷，若同時知足三個條件，則k就是所求。

（2）源程序1。

#include <stdio.h>

int main()

{

int p,e,i,d,caseNo = 0,k;

while(scanf("%d%d%d%d",&p,&e,&i,&d) &&p!=-1)

{

++caseNo;

for(k = d+1;(k-p)%23!=0 || (k-e)%28!=0|| (k-i)%33!=0; k++);

printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days.\n",caseNo,k-d);

}

return 0;

}

（3）編程思路2。

思路1中對區間[d+1，21252]中的每一個k都進行三個條件的判斷，開銷很大，能夠進行優化。

具體優化辦法是：先從區間[d+1，21252]中找到第一個知足條件1）的體力高峯出現的時間k1，而後從k一、k1+2三、k1+2*2三、k1+3*23…這些時間中尋找第一個知足條件2）的情感高峯出現的時間k2，固然它也必定是體力高峯出現的時間；最後在k二、k2+23*2八、k1+2*23*2八、k1+3*23*28…這些時間中尋找第一個知足條件3）的時間k3。則k3-d就是所求的答案。

（4）源程序2。

#include <stdio.h>

int main()

{

int p,e,i,d,caseNo = 0,k;

while(scanf("%d%d%d%d",&p,&e,&i,&d) &&p!=-1)

{

++caseNo;

for(k = d+1;(k-p)%23;k++); // 枚舉體力高峯

while ((k-e)%28!=0) k+=23; // 枚舉情感高峯

while ((k-i)%33!=0) k+=23*28; // 找到三高峯

printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days.\n",caseNo,k-d);

}

return 0;

}

習題9

9-1 硬幣方案

問題描述

有50枚硬幣，可能包括4種類型：1元、5角、1角和5分。

已知50枚硬幣的總價值爲20元，求各類硬幣的數量。

例如：二、3四、六、8就是一種方案。而二、3三、1五、0是另外一個可能的方案，顯然方案不惟一。

編寫程序求出相似這樣的不一樣的方案一共有多少種？

輸入數據

無

輸出要求

全部可能的方案，輸出格式見輸出樣例。

輸入樣例

無輸入

輸出樣例

1: 0 , 38 , 8 , 4

2: 1 , 36 , 7 , 6

3: 2 , 33 , 15 , 0

……

（1）編程思路。

直接對四種類型的硬幣的個數進行窮舉。其中，1元最多20枚、5角最多40枚、1角最多50枚、5分最多50枚。

另外，若是以元爲單位，則5角、1角、5分會化成浮點型數據，容易計算出錯。能夠將1元、5角、1角、5分變成100分、50分、10分和5分，從而所有采用整型數據處理。

（2）源程序。

#include <stdio.h>

int main()

{

int a,b,c,d,cnt=0;

for(a=0;a<=20;a++)

for(b=0;b<=40;b++)

for(c=0;c<=50;c++)

for(d=0;d<=50;d++)

{

if(a*100+b*50+c*10+d*5==2000 && a+b+c+d==50)

{

printf("%d: %d , %d , %d , %d\n",++cnt,a,b,c,d);

}

return 0;

}

（3）窮舉優化。

上面的程序採用窮舉法求解，比較簡單。但在窮舉結構的設置、窮舉參數的選取等方面存在着改進與優化的空間。

通常來講，在採用窮舉法進行問題求解時，可從兩個方面來優化考慮。

1）創建簡潔的數學模型。

數學模型中變量的數量要儘可能少，它們之間相互獨立。這樣問題解的搜索空間的維度就小。反應到程序代碼中，循環嵌套的層次就少。例如，上面的程序中，採用變量a、b、c、d分別表示1元、5角、1角和5分硬幣的枚數，對這4個變量窮舉，循環層次爲4層。實際上這4個變量彼此間有兩個條件在約束，或者枚數等於50，或者總價值爲20元。所以，能夠只窮舉3個變量，另一個變量經過約束條件求出，從而將循環層次減小爲3層。

2）減少搜索的空間。

利用已有的知識，縮小數學模型中各個變量的取值範圍，避免沒必要要的計算。反應到程序代碼中，循環體被執行的次數就減小。例如，在窮舉時，先考慮1元的枚數a，最多爲20枚（即0<=a<=20），再考慮5角的枚數b，若採用總價值不超過20元約束，則其枚數最多爲(2000-a*100)/50枚（即0<=b<=(2000-a*100)/50），以後考慮1角的枚數c，其枚數最多爲 (2000-a*100-b*50)/10（即0<=c<=(2000-a*100-b*50)/10）。這樣窮舉的循環次數會大大減小。

採用上述思路優化後的源程序以下。

#include <stdio.h>

int main()

{

int a,b,c,d,cnt=0;

for(a=0;a<=20;a++)

for(b=0;b<=(2000-a*100)/50;b++)

for(c=0;c<=(2000-a*100-b*50)/10;c++)

{

d=(2000-a*100-b*50-c*10)/5; // 剩下的用5分硬幣填充

if(a+b+c+d==50)

{

printf("%d: %d , %d , %d , %d\n",++cnt,a,b,c,d);

}

return 0;

}

也能夠採用總枚數不超過50枚約束。先考慮1元的枚數a，最多爲20枚（即0<=a<=20），再考慮5角的枚數b，則其枚數最多爲(50-a)枚（即0<=b<=(50-a），以後考慮1角的枚數c，其枚數最多爲 (50-a-b)枚（即0<=c<=50-a-b）。採用這種思路優化後的源程序以下。

#include <stdio.h>

int main()

{

int a,b,c,d,cnt=0;

for(a=0;a<=20;a++)

for(b=0;b<=50-a;b++)

for(c=0;c<=50-a-b;c++)

{

d=50-a-b-c; // 剩下的用5分硬幣填充

if(100*a+50*b+10*c+5*d==2000)

{

printf("%d: %d , %d , %d , %d\n",++cnt,a,b,c,d);

}

return 0;

}

9-2 和積三角形

問題描述

把和爲正整數s的8個互不相等的正整數填入8數字三角形（如圖1所示）中，若三角形三邊上的數字之和相等且三邊上的數字之積也相等，該三角形稱爲和積三角形。

圖1 數字三角形

例如，和爲45的和積三角形如圖2所示。

圖2 s=45的和積三角形

編寫一個程序，輸出和爲s的和積三角形。

輸入數據

一個正整數S（36≤S≤300）。

輸出要求

全部和爲S的和積三角形，要求輸出的方案不重複。如圖2中，8和9交換，或4和3交換，或同時交換9與四、8和三、2和12，所獲得的3種方案均視爲與圖2給出的方案是同一種方案。

輸入樣例

輸出樣例

1：2 , 8 , 9 , 1 , 4 , 3 , 12 , 6 , s1=20, s2=144

說明

對照圖2的數據，注意體會樣例中8個數的輸出順序，另外是s1的值表明各邊上整數的和，s2的值表明各邊上整數的積。

（1）編程思路。

按輸出樣例的說明，設圖1所示的數字三角形的8個數分佈以下圖3所示。

由於三角形的兩個腰能夠互相交換，爲避免重複，不妨約定三角形中數字「下小上大、左小右大」，即 b1<b七、b2<b3且b6<b5。

圖3 三角形分佈示意圖

這樣，能夠根據約定對b一、b7的值進行循環探索，設置：

b1的取值範圍爲1 ~ (s-21)/2；（因除b一、b7外，其餘6個數之和至少爲21）

b7的取值範圍爲b1+1 ~ (s-28)；（因除b7外，其餘7個數之和至少爲28）

b4的取值範圍爲1 ~ (s-28)；（因除b4外，其餘7個數之和至少爲28）

同理，根據約定b2<b3，b6<b5，可設置：

b2 的取值範圍爲1 ~ (s-21)/2；（因除b二、b3外，其餘6個數之和至少爲21）

b3 的取值範圍爲b2+1 ~ (s-28)；

b6 的取值範圍爲1 ~ (s-21)/2；（因除b五、b6外，其餘6個數之和至少爲21）

b5 的取值範圍爲b(6)+1 ~ (s-28)；

b8 = s-（b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7）

對所取的8個整數，須要進行如下4道檢測：

1）若b8<=0，則不符合要求；

2）若這8個數出現相同數，則不符合要求；

3）若三邊之和不等，則不符合要求；

4）若三邊之積不等，則不符合要求。

若某8個數經過以上4道檢測，即爲一個解，打印輸出，並統計解的個數。

因爲須要對8個整數中是否出現相同數進行檢測，所以能夠將8個數保存在一個一維數組中，定義一維數組 int b[9]；其中數組元素b[1] ~ b[8]分別對應圖3中的b1 ~ b8。

程序整體能夠寫成一個七重循環結構，以下：

for(b[1]=1;b[1]<=(s-21)/2;b[1]++)

for(b[7]=b[1]+1;b[7]<=s-28;b[7]++)

for(b[4]=1;b[4]<=s-28;b[4]++)

for(b[2]=1;b[2]<=(s-21)/2;b[2]++)

for(b[3]=b[2]+1;b[3]<=s-28;b[3]++)

for(b[6]=1;b[6]<=(s-21)/2;b[6]++)

for(b[5]=b[6]+1;b[5]<=s-28;b[5]++)

{

根據窮舉的8個數，進行4道檢測，肯定是否爲一組解；

}

4道檢測中，除檢查8個數中是否出現相同數複雜點外，其餘均是簡單計算並判斷便可。

爲檢測8個數中是否出現相同的數，能夠先設定一個標誌 t=0；而後用循環依次將每一個數與其後的每一個數進行比較，若出現相同，則置t=1並退出循環。

循環執行結束後，若 t==1，則說明8個數中出現了相同的數；若 t保持初始設定值0，則說明8個數中不存在相同的數。算法描述爲：

t=0;

for(i=1;i<=7;i++)

for(j=i+1;j<=8;j++)

if(b[i]==b[j])

{

t=1; i=7; break;

}

（2）源程序1。

#include <stdio.h>

int main()

{

int i,j,t,s,s1,s2,cnt,b[9];

scanf("%d",&s);

cnt=0;

for(b[1]=1;b[1]<=(s-21)/2;b[1]++)

for(b[7]=b[1]+1;b[7]<=s-28;b[7]++)

for(b[4]=1;b[4]<=s-28;b[4]++)

for(b[2]=1;b[2]<=(s-21)/2;b[2]++)

for(b[3]=b[2]+1;b[3]<=s-28;b[3]++)

for(b[6]=1;b[6]<=(s-21)/2;b[6]++)

for(b[5]=b[6]+1;b[5]<=s-28;b[5]++)

{

b[8]= s-(b[1]+b[2]+b[3]+b[4]+b[5]+b[6]+b[7]);

if(b[8]<=0) continue;

t=0;

for(i=1;i<=7;i++)

for(j=i+1;j<=8;j++)

if(b[i]==b[j])

{ t=1; i=7; break; }

if(t==1) continue;

s1= b[1]+b[2]+b[3]+b[4];

if(b[4]+b[5]+b[6]+b[7]!=s1 || b[1]+b[8]+b[7]!=s1)

continue;

s2=b[1]*b[2]*b[3]*b[4];

if(b[4]*b[5]*b[6]*b[7]!=s2 || b[1]*b[8]*b[7]!=s2)

continue;

cnt++;

printf("%d : ",cnt);

for(i=1; i<=8; i++)

printf("%d , ",b[i]);

printf(" s1=%d, s2=%d\n",s1,s2);

}

return 0;

}

（3）窮舉優化思路。

上面的窮舉程序設計雖然可行。可是，這個程序的運行速度太慢。例如將程序中的s=45改爲s=89，即計算和爲89的8個整數組成的和積三角形，程序運行後，可獲得以下所示的結果。

1 : 6 , 14 , 18 , 1 , 9 , 8 , 21 , 12 , s1=39, s2=1512

2 : 8 , 12 , 15 , 1 , 16 , 9 , 10 , 18 , s1=36, s2=1440

3 : 8 , 4 , 27 , 2 , 12 , 3 , 24 , 9 , s1=41, s2=1728

4 : 15 , 9 , 16 , 1 , 12 , 10 , 18 , 8 , s1=41, s2=2160

程序獲得以上4個解需等待較長時間。爲了提升求解效率，必須對程序進行優化，能夠從循環設置入手。具體思路爲：

1）增長s+b1+b7+b4是否爲3的倍數檢測。

由於三角形三個頂點的元素在計算三邊時各計算了兩次，即s+b1+b7+b4＝3*s1，則在b一、b四、b7循環中增長對s+b1+b7+b4是否能被3整除的檢測。

若（s+b1+b7+b4）%3≠0，則直接continue，繼續新的b一、b四、b7探索，而無需探索後面的b二、b三、b5和b6；

不然，記s1=（s+b1+b7+b4）/3，往下進行探索。

2）精簡循環，把七重循環精簡爲五重。

保留根據約定對b一、b7和b4的值進行的循環探索，設置同前。優化對b二、b三、b5和b6的循環探索。可根據約定對b三、b5的值進行探索，設置：

b3的取值範圍爲（s1-b1-b4）/2+1 ~ s1-b1-b4；注： s1=（s+b1+b7+b4）/3

b5的取值範圍爲（s1-b4-b7）/2+1 ~ s1-b4-b7；

同時根據各邊之和爲s1，計算出b二、b6和b8，即

b2=s1-b1-b4-b3

b6=s1-b4-b5-b7

b8=s1-b1-b7

這樣，還同時精簡了關於b8是否爲正的檢測，也精簡了三邊和是否相等的檢測。只需檢測b數組是否存在相同正整數與三邊積是否相同便可。

（4）改進後的源程序。

#include <stdio.h>

int main()

{

int i,j,t,s,s1,s2,cnt,b[9];

scanf("%d",&s);

cnt=0;

for(b[1]=1;b[1]<=(s-21)/2;b[1]++)

for(b[7]=b[1]+1;b[7]<=s-28;b[7]++)

for(b[4]=1;b[4]<=s-28;b[4]++)

{

if((s+b[1]+b[4]+b[7])%3!=0)

continue;

s1=(s+b[1]+b[4]+b[7])/3;

for(b[3]=(s1-b[1]-b[4])/2+1;b[3]<s1-b[1]-b[4];b[3]++)

for(b[5]=(s1-b[4]-b[7])/2+1;b[5]<s1-b[4]-b[7];b[5]++)

{

b[2]=s1-b[1]-b[4]-b[3];

b[6]=s1-b[4]-b[7]-b[5];

b[8]=s1-b[1]-b[7];

t=0;

for (i=1; i<=7; i++)

for(j=i+1;j<=8;j++)

if(b[i]==b[j])

{ t=1; i=7; break; }

if(t==1) continue;

s2=b[1]*b[2]*b[3]*b[4];

if(b[4]*b[5]*b[6]*b[7]!=s2 || b[1]*b[8]*b[7]!=s2)

continue;

cnt++;

printf("%d : ",cnt);

for(i=1; i<=8; i++)

printf("%d , ",b[i]);

printf(" s1=%d, s2=%d\n",s1,s2);

}

return 0;

}

運行以上改進窮舉的程序，當s=89時所得解與前相同，但時間大大縮短。

9-3 完美運算式

問題描述

把數字一、二、…、9這9個數字填入如下含加減乘除與乘方的綜合運算式中的9個□中，使得該式成立

□^□+□□÷□□-□□×□=0

要求數字1，2，…、9這9個數字在式中都出現一次且只出現一次。

輸入數據

無

輸出要求

輸出全部可能的填寫方式，輸出格式見輸出樣例。

輸入樣例

無

輸出樣例

1:3 ^ 5 + 87 / 29 - 41 * 6=0

……

（1）編程思路1。

設式中的6個整數從左至右分別爲 a、b、x、y、z、c，其中x、y、z爲2位整數，範圍爲12~98；a、b、c爲一位整數，範圍爲1~9。

設置a、b、c、x、y、z循環，對窮舉的每一組a、b、c、x、y、z，進行如下檢測：

1）若x不是y的倍數，即 x % y!=0，則返回繼續下一次窮舉。

2）若等式不成立，即a^b+x/y-z*c!=0，則返回繼續下一次窮舉。

3）式中9個數字是否存在相同數字。將式中6個整數共9個數字進行分離，分別賦值給數組元素f[1]~f[9]。連同附加的f[0]=0（爲保證9個數字均不爲0），共10個數字在二重循環中逐個比較。

若存在相同數字，t=1，不是解，繼續下一次窮舉。

若不存在相同數字，即式中9個數字爲1~9不重複，保持標記t=0, 是一組解，輸出所得的完美運算式。並統計解的個數 n 。

（2）源程序1。

#include <stdio.h>

int main()

{

int a,b,c,x,y,z;

int i,j,k,t,n,f[10];

n=0;

for(a=1;a<=9;a++)

for(b=1;b<=9;b++)

for(c=1;c<=9;c++)

for(x=12;x<=98;x++)

for(y=12;y<=98;y++)

for(z=12;z<=98;z++)

{

if (x%y!=0) continue;

k=1;

for (i=1;i<=b;i++) // 計算k=a^b

k=a*k;

if(k+x/y-z*c!=0) continue;

f[0]=0;

f[1]=a;f[2]=b;f[3]=c; // 9數字個賦給f數組

f[4]=x/10; f[5]=x%10;

f[6]=y/10; f[7]=y%10;

f[8]=z/10; f[9]=z%10;

t=0;

for(i=0;i<=8;i++)

for(j=i+1;j<=9;j++)

if(f[i]==f[j])

{ t=1; break; } // 檢驗數字是否有重複

if(t==0)

{

n++; // 輸出一個解，用n統計個數

printf("%d:%d ^ %d + %d / %d - %d * %d=0\n",n,a,b,x,y,z,c);

}

return 0;

}

（3）編程思路2。

對上面的程序進行優化。

因爲要求的綜合運算式爲：a^b+x/y-z*c=0，那麼，x=(z*c-a^b)*y。所以可設置a、b、c、y、z循環，對窮舉的每一組a、b、c、y、z，計算x。這樣處理，可省略x循環，同時省略x是否能被y整除，省略等式是否成立的檢測。

計算x後，只要檢測x是否爲二位數便可。若計算所得x不是二位整數，則返回繼續下一次窮舉。

另外，式中9個數字是否存在相同數字可採用這樣的方法：

定義f數組對6個整數分離出的9個數字的出現次數進行統計，即f[i]的值爲式中數字i的個數，初值全賦值爲0。統計後，若某一f[i]（i=1~9）不爲1，則必定不知足數字一、二、…、9這九個數字都出現一次且只出現一次，標記t=1，不是解，返回繼續下一次窮舉；若全部f[i]全爲1，知足數字一、二、…、9這九個數字都出現一次且只出現一次，保持標記t=0，是解，輸出所得的完美綜合運算式。

（4）源程序2。

#include <stdio.h>

int main()

{

int a,b,c,x,y,z;

int i,k,t,n,f[10];

n=0;

for(a=1;a<=9;a++)

for(b=1;b<=9;b++)

for(c=1;c<=9;c++)

for(y=12;y<=98;y++)

for(z=12;z<=98;z++)