逆元講解（三種方法）

【同餘的定義】：

 

【同餘的主要性質】：

 

 (a+b)%d=(a%d+b%d)%d

 加減乘除都能分開寫

 要注意的是減法，由於減法可能會減出來負值因此能夠這樣寫（a-b+mod）%mod；

性質證實：

 

 

【逆元】

（1）定義：

 就是一個數的倒數，那爲何要求一個數的倒數：好比a/b這個時候b的值特別大，就是致使double精度不夠因此咱們要將a/b換成a*c，其中c^-1=b.

 

【費馬小引理求解逆元】：（易知費馬定理是有限制的：a與p要互質）

代碼實現：（精華就是快速冪）

 1 long long quickpow(long long a,long long b){
 2  if(b<0)  return 0;
 3  long long ret=1;
 4  a%=mod;
 5  while(b){
 6   if(b & 1 ) ret = ( ret *a ) % mod
 7   b>>=1;
 8   a = (a * a)% mod;
 9  }
10  return ret;
11 }
12 long long inv(long long a){
13  return quickpow(a,mod-2);
14 }

 

 

 

【擴展歐幾里得算法求逆元】：

展轉相除法：

能夠來這看看（回溯獲得方程解）：https://baike.baidu.com/item/展轉相除法/4625352?fr=aladdin#4

（2）擴展歐幾里得算法的證實：（這種方法也要求a和m互質）

 

（3）求解逆元：

（4）代碼實現：

 1 #include <iostream>
 2 #include <stdio.h>
 3 #include <stdlib.h>
 4 #include <ctype.h>
 5 #include<string.h>
 6 #include <math.h>
 7 #include<algorithm>
 8 using namespace std;
 9 typedef long long ll;
10 void extgcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y)
11 {
12     if(!b)
13     {
14         d=a;
15         x=1;
16         y=0;
17     }
18     else
19     {
20         extgcd(b,a%b,d,y,x);
21         y-=x*(a/b);
22     }
23 }
24 int ModularInverse(int a,int b)
25 {
26     
27     ll d,x,y;
28     extgcd(a,b,d,x,y);
29     return d==1?(x+b)%b:-1;  //返回的結果就是(1/a)mod(b)的結果
30     // complete this part
31 }
32 int main()
33 {
34     printf("%d\n",ModularInverse(2,3));//結果是2
35     /*
36     2*x+3*y=1mod(3)  //那個x就是(1/2)mod(3)的結果，y的話不用管，由於3*y取模於3都是0
37     */
38     return 0;
39 }

 

 

（3）、

可是對於要求好多數的逆元的題目，這樣寫會超時

咱們還有線性求逆元的方法 

來看帶餘除法 式子 p=k*i+r 

咱們能夠寫成 k*i+r≡0(mod p) 

式子兩邊同乘 i^-1*r^-1 (i^-1,r^-1皆爲模p意義下的逆元) 

因此咱們有 k*r^-1+i^-1≡0(mod p) 

i^-1≡-k*r^-1(mod p)

i^-1≡-(p/i)*(p%i)^-1(mod p)

 

因此i^-1能夠用(p%i)^-1推出，因此就能夠用遞推式求出來1到i之間全部數的逆元

代碼：

 1 //一、線性求逆元
 2 int inv[MAXN]; 
 3 void INV(int a,int p)//線性求到a的逆元 
 4 {
 5     inv[1] = 1;
 6     for (int i=2; i<=a; ++i)
 7         inv[i] = (-(p/i))*inv[p%i]%p; 
 8 }
 9 
10 //二、單獨求某個值的逆元
11 int INV(int a)//線性求a的逆元 
12 {
13      if (a==1) return 1;
14      return ((-(p/a)*INV(p%a))%p);
15 }