一些技巧 && 常數優化 && 出現の錯誤 [絕贊更新中！]

開坑緣由

7.21

今天DTZ大爺教了我一個算歐拉函數的好方法......是質因數複雜度的

這讓我想到，這些小技巧小idea，不少時候，可能就是考場上最致命、最一擊必殺的「大招」

所以開個坑記錄一下，定有好處

7.21

歐拉函數的意義是比一個數小的數中有多少個和它互質的，不要考場上想到了這句話想不到歐拉函數

而後是求歐拉函數的一個方法

設一個數$x=\prod_{i=1}^{k}p_i^{a_i}$，那麼：

$\varphi(x)=\prod_{i=1}^{k}(p_i-1)p_i^{a_i-1}=x\prod_{i=1}^{k}\frac{p_i-1}{p_i}$

7.24

在作FFT，NTT之類的題目時，會用到大量的模數

這時，如下三種方法：

#define MOD 1000000007
const ll MOD=1000000007
ll MOD=1000000007

第一種快於第二種快於第三種

並且都是快不少的那種快法

所以最好使用第一種

7.25

NTT中，作多項式求逆和多項式開根的時候，每次迭代只須要取前len項出來，而後len到(len<<1)的項必定要清零

這樣會快不少

同時注意原式中能約的就約掉，也能提高常數

7.29

$\varphi(i\ast j)=\frac{\varphi(i)\varphi(j)d}{\varphi(d)}$

其中$d=gcd(i,j)$

莫比烏斯函數的性質利用

$\mu\ast I = \epsilon$

$[gcd(i,j)==1]=\sum_{e|i,e|j}\mu(e)$

這玩意有啥用呢？好比說我要求$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\varphi(ij)$

那麼能夠這麼化式子

原式

$=\sum_{d=1}^n \frac{d}{\varphi(d)} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \varphi(i)\varphi(j) [gcd(i,j)==d]$

$=\sum_{d=1}^n \frac{d}{\varphi(d)} \sum_{i=1}^{\frac{n}{d}} \sum_{j=1}^{\frac{m}{d}} \varphi(id)\varphi(jd) [gcd(i,j)==1]$

$=\sum_{d=1}^n \frac{d}{\varphi(d)} \sum_{i=1}^{\frac{n}{d}} \sum_{j=1}^{\frac{m}{d}} \varphi(id)\varphi(jd) \sum_{e|i,e|j}\mu(e)$

$=\sum_{e=1}^n\mu(e)\sum_{d=1}^\frac ne\frac d{\varphi(d)}\sum_{i=1}^\frac n{de}\sum_{j=1}^\frac m{de}\varphi(ide)\varphi(jde)$

設$T=de$

那麼原式

$=\sum_{T=1}^n \sum_{d|T} \mu(\frac{T}{d})\frac{d}{\varphi(d)} \sum_{i=1}^{\frac{n}{T}} \varphi(iT) \sum_{j=1}^{\frac{m}{T}} \varphi(jT)$

這樣題目就變簡單了

7.30

今天又作到關於樹、堆之類的東西的形態構建題目了

對於問你一棵二叉樹/多叉樹有幾種構建方式的，能夠考慮從每一個節點的子樹的角度去DP、設方程，而後用多項式優化，或者組合數之類的

8.2

設$F_i$表示斐波那契數列的第$i$項，那麼：

$gcd(F_i,F_j)=F_{gcd(i,j)}$

同時注意線性篩中間要break的是$i$ $mod$ $ pri[j] ==0$，不要漏掉了$==0$！！！

積性函數的斷定：

兩個積性函數的狄利克雷卷積仍然是積性函數

8.4

二項式反演：

$F(n)=\sum_{i=0}^n C_n^i G(i)$

$G(n)=\sum_{i=0}^n (-1)^{n-i} C_n^i F(i)$

8.12

$LCT$的$splay$以前寫的$push$中有的時候沒法使用遞歸寫法，此時要注意彈棧過程當中的$top--$

while(sta[top--]) pushdown(sta[top]);
while(sta[top]) pushdown(sta[top--]);

下面的是對的，上面是錯的

8.13

$SAM$的經常使用操做是把$fail$指針（也就是$fa$）反過來，而後在樹上$dp$（這個好像很sb的樣子我爲何要寫上來qwq）（我太菜了）

由$Polya$定理能夠計算把一個長度爲$n$的環塗上$m$種顏色的不一樣方案：

$L=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} m^{gcd(i,n)}$

9.10

很久沒更新了......

長鏈剖分+單調隊列合併，能夠把求樹上長度爲$[L,R]$區間的路徑的相關問題作到$O(n)$

遇到長得像二次方程根的那種遞推、通項之類的東西，能夠考慮反推特徵根方程

兩棵樹經過一條邊連在一塊兒的時候，新樹的直徑端點是原來兩棵樹的四個端點中的兩個

遇到和深度相關的、有繼承關係的問題，能夠考慮同一條鏈共用dp值的方式

SA遇處處理原序列順序的相關問題時，能夠考慮加入主席樹，按照sa順序加入，元素是原位置

10.25

一個多月沒更新......

樹形dp在n小的時候，能夠考慮以每一個點爲根進行dp，這樣能夠加入一些限制，可能有奇效

樹狀數組能夠維護區間加、區間查詢和！（詳見HNOI2017影魔）

樹的拓撲序個數爲$\frac{n}{\prod size(u)}$

1.5

詐屍式更新

考慮一個函數是否爲多項式時，能夠差分它

若是通過了$k$次差分後獲得0，那麼它是一個$k-1$次多項式

這個能夠和拉格朗日插值一塊兒用

4.12

泰勒展開.....

看到和式有着$\sum_i delta\ast\frac{x^i}{i!}$的形式的時候，要考慮到$e^x$的泰勒展開式：

$e^x=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{x^i}{i!}$

4.14

更新一個很是規思路list

純序列問題：cdq分治，總體二分，樹套樹，奇怪的線段樹

序列問題且只和區間邊界有關：先考慮dp，不行多是線段樹（usaco式合併）

須要維護區間對一個值取max/min：吉老師線段樹（Segment Tree Beats!）

計算幾何奇怪形狀：分步枚舉，考慮哪些元素的肯定會對其餘人限制最大

關於模意義下二次方程：二次剩餘

序列上的點是連續的狀況（也就是原本要用微積分的）：注意此時序列上任選兩個點重合機率爲0

待續（可能後面會考慮把這個東西改爲一個trick列表.....?）

5.3

期中考試去了......有一段時間沒作題

還好考了個年25，還看得過去吧（雖然本身不是特別滿意）

= =

遇到排序相關、交換相關的題目，能夠考慮按照元素大小變成零一序列，可能有奇效

5.4

四色定理相似問題能夠先生成樹，再看剩下的邊是否是二分圖，最後兩個分別染色而後合併

除此以外就只能爆搜了

注意這種條件下不知足四色定理的圖必定有奇環：二分圖斷定原理

考慮dp的時候，要注意一些全局的限制：可能會遇到dp的兩個維度有乘起來不超過一個值的狀況

此時可能能夠導出調和級數複雜度！

走路+選擇路上元素問題的dp，能夠反過來考慮，不是dp已經選了那些，而是dp剩下的都沒選的時候（也就是走到哪裏爲止）能夠配合上述調和級數作

這種dp要注意的是，關於走路中的一些「體力限制」，會出現你沒走到哪裏可能會花更少的「全局體力」，此時注意在dp中考慮這一因素的影響

調和級數dp在滾動數組的時候採用一個一個重置爲in的方式比較可靠，否則極可能memset複雜度掛

5.7

若是想對於一個n點圖的凸包求出去掉凸包上每個點後，在新的n-1點圖中獲得的新凸包的點集的並集，能夠採用這樣的方法：

設原凸包點集依次爲$a[1...m]$，那麼對於奇數下標的標上顏色一，偶數顏色二，若是$m$是奇數那最後一個標顏色3、第一個去掉顏色

而後作三次求凸包，每次去掉一種顏色的點（沒有顏色的就無論），三個凸包上全部的點集合就是所求的並集

這個方法簡而言之就是每隔一個點去掉一個，能夠把這一算法複雜度從$O(n^2\log n)$降到$O(n\log n)$

排列問題雙巨頭：括號序列！線段樹！

5.8

線段樹裏面不只能夠套凸包優化決策，竟然還能夠套半平面交......

遇到區間交集題目或者什麼別的東西，有「選擇的長度和貢獻線性相關」的，能夠考慮一下從一次函數的觀點看問題，可能能變成幾何題

遇到不會dp，若是n^3或者kn^2能接受的話，想想區間dp的方法，並嘗試一波四邊形優化

四邊形優化不必定要證實，能夠打個表試一試（固然前提是要先確保原來的區間dp是對的，要先對拍再打表）

5.9

線段樹求最小值和最小值個數能夠解決區間覆蓋型問題

5.12

多模式串匹配算法要想到AC自動機！能夠在上面跑dp

注意AC自動機要合併fail樹上全部祖先節點的信息

平均數求和問題若是有二分性則能夠01分數規劃！

平均的那個除N挪到右邊，再挪回來，能夠去掉siz在dp中的限制

5.13

cf559div1打的奇差無比......找規律還能fst，策略大失敗，懷疑本身的智商沒資格搞OI了

遇到

有一個排列，給出這個排列每一個位置的一個和後面位置以及大小有關的信息（好比在它後面第一個比他大的），求這個排列

的這種題，能夠考慮排列的合法性。不少時候會發現會出現例如$i<j<p[i]$則$a[i]>a[j]$必須知足的狀況（這個基於區間大小限制）

這樣就能夠創建限制拓撲圖，能夠拓撲排序賦值

5.16

對於一些有不少位置，每一個位置有不少取值，而後問你全部這些取值的前$k$大的問題，可使用優先隊列完成：

用pair記錄取值和取值位置，而後每次取出優先隊列裏面取值最大的那個，而後在對應的位置查詢第二大（第三大、第四大……）的取值，再插入

適用於能夠查詢區間$k$大的數據結構，例如主席樹、可持久化trie等

sam有一些新get的技巧，去看我寫的sam那篇博客吧