離散點最小（凸）包圍邊界查找

在此感謝 Darel Rex Finley，本文只是對其c代碼在java上的延伸

很早以前項目中有一需求，須要用一條閉合曲線將離散座標點勾勒出來，根據Darel Rex Finley的程序，實現了最小凸多邊形邊界查找（關於凸多邊形及凹多邊形的定義見 凸多邊形 及 凹多邊形）

現將實現過程整理以下：

離散點

首先創建離散點類

/**
 * <p>
 * <b>離散點</b>
 * <p>
 * <pre>
 * 離散點
 * </pre>
 *
 * @author  ManerFan 2015年4月10日
 */
public class Point {

    /**
     * x座標
     */
    private double x;

    /**
     * y座標
     */
    private double y;

    /**
     * 邊界查找算法中 是否被找到
     */
    boolean founded = false;

    /** Constructor Getters & Setters */

}

離散點操做工具類

爲更方便的實現算法，建立離散點操做工具類

/**
 * <p>
 * <b>離散點計算工具</b>
 * <p>
 * <pre>
 * 離散點計算工具
 * 
 *  y
 *  ↑   ·  ·
 *  │  · ·   ·
 *  │ ·  · ·   ·
 *  │  ·  ·  
 * —│————————————→ x
 * </pre>
 *
 * @author  ManerFan 2015年4月9日
 */
public class DiscretePointUtil {

    /**
     * <p>
     * <b>查找離散點集中的(min_x, min_Y) (max_x, max_Y)</b>
     * <p>
     * <pre>
     * 查找離散點集中的(min_x, min_Y) (max_x, max_Y)
     * </pre>
     *
     * @author  ManerFan 2015年4月9日
     * @param   points    離散點集
     * @return  [(min_x, min_Y), (max_x, max_Y)]
     */
    public static Point[] calMinMaxDots(final List<Point> points) {
        if (null == points || points.isEmpty()) {
            return null;
        }

        double min_x = points.get(0).getX(), max_x = points.get(0).getX();
        double min_y = points.get(0).getY(), max_y = points.get(0).getY();

        /* 這裏存在優化空間，能夠使用並行計算 */
        for (Point point : points) {
            if (min_x > point.getX()) {
                min_x = point.getX();
            }

            if (max_x < point.getX()) {
                max_x = point.getX();
            }

            if (min_y > point.getY()) {
                min_y = point.getY();
            }

            if (max_y < point.getY()) {
                max_y = point.getY();
            }
        }

        Point ws = new Point(min_x, min_y);
        Point en = new Point(max_x, max_y);

        return new Point[] { ws, en };
    }

    /**
     * <p>
     * <b>求矩形面積平方根</b>
     * <p>
     * <pre>
     * 以兩個點做爲矩形的對角線上的兩點，計算其面積的平方根
     * </pre>
     *
     * @author  ManerFan 2015年4月9日
     * @param   ws  西南點
     * @param   en  東北點
     * @return  矩形面積平方根
     */
    public static double calRectAreaSquare(Point ws, Point en) {
        if (null == ws || null == en) {
            return .0;
        }

        /* 爲防止計算面積時float溢出，先計算各邊平方根，再相乘 */
        return Math.sqrt(Math.abs(ws.getX() - en.getX()))
                * Math.sqrt(Math.abs(ws.getY() - en.getY()));
    }

    /**
     * <p>
     * <b>求兩點之間的長度</b>
     * <p>
     * <pre>
     * 求兩點之間的長度
     * </pre>
     *
     * @author  ManerFan 2015年4月10日
     * @param   ws  西南點
     * @param   en  東北點
     * @return  兩點之間的長度
     */
    public static double calLineLen(Point ws, Point en) {
        if (null == ws || null == en) {
            return .0;
        }

        if (ws.equals(en)) {
            return .0;
        }

        double a = Math.abs(ws.getX() - en.getX()); // 直角三角形的直邊a
        double b = Math.abs(ws.getY() - en.getY()); // 直角三角形的直邊b

        double min = Math.min(a, b); // 短直邊
        double max = Math.max(a, b); // 長直邊

        /**
         * 爲防止計算平方時float溢出，作以下轉換
         * √(min²+max²) = √((min/max)²+1) * abs(max)
         */
        double inner = min / max;
        return Math.sqrt(inner * inner + 1.0) * max;
    }

    /**
     * <p>
     * <b>求兩點間的中心點</b>
     * <p>
     * <pre>
     * 求兩點間的中心點
     * </pre>
     *
     * @author  ManerFan 2015年4月10日
     * @param   ws  西南點
     * @param   en  東北點
     * @return  兩點間的中心點
     */
    public static Point calCerter(Point ws, Point en) {
        if (null == ws || null == en) {
            return null;
        }

        return new Point(ws.getX() + (en.getX() - ws.getX()) / 2.0, ws.getY()
                + (en.getY() - ws.getY()) / 2.0);
    }

    /**
     * <p>
     * <b>計算向量角</b>
     * <p>
     * <pre>
     * 計算兩點組成的向量與x軸正方向的向量角
     * </pre>
     *
     * @author  ManerFan 2015年4月17日
     * @param   s   向量起點
     * @param   d   向量終點
     * @return  向量角
     */
    public static double angleOf(Point s, Point d) {
        double dist = calLineLen(s, d);

        if (dist <= 0) {
            return .0;
        }

        double x = d.getX() - s.getX(); // 直角三角形的直邊a
        double y = d.getY() - s.getY(); // 直角三角形的直邊b

        if (y >= 0.) { /* 1 2 象限 */
            return Math.acos(x / dist);
        } else { /* 3 4 象限 */
            return Math.acos(-x / dist) + Math.PI;
        }
    }

    /**
     * <p>
     * <b>修正角度</b>
     * <p>
     * <pre>
     * 修正角度到 [0, 2PI]
     * </pre>
     *
     * @author  ManerFan 2015年4月17日
     * @param   angle   原始角度
     * @return  修正後的角度
     */
    public static double reviseAngle(double angle) {
        while (angle < 0.) {
            angle += 2 * Math.PI;
        }
        while (angle >= 2 * Math.PI) {
            angle -= 2 * Math.PI;
        }

        return angle;
    }

}

邊界查找算法

算法的實現思路，簡要以下

1. 找到離散點中，保證y座標最大的狀況下，x座標最小的點，記作A點
2. 以A點爲原點，x軸正反向射線順時針掃描，找到旋轉角最小時掃描到的點，記作B點

$$ (\overrightarrow{Ax}) $$

1. 以B點爲原點，AB方向射線順時針掃描，找到旋轉角最小時掃描到的點，記作C點

$$ (\overrightarrow{AB}) $$

1. 以C點爲原點，BC方向射線順時針掃描，找到旋轉角最小時掃描到的點，記作D點

$$ (\overrightarrow{BC}) $$

1. 以此類推，直到找到起始點A

思路圖，簡要以下

實現程序見下

/**
 * <p>
 * <b>最小（凸）包圍邊界查找</b>
 * <p>
 * <pre>
 * 最小（凸）包圍邊界查找
 * 
 * Minimum Bounding Polygon (Convex Hull; Smallest Enclosing A Set of Points)
 * <b><a href="http://alienryderflex.com/smallest_enclosing_polygon/">©2009 Darel Rex Finley.</a></b>
 *
 *  y
 *  ↑   ·  ·
 *  │  · ·   ·
 *  │ ·  · ·   ·
 *  │  ·  ·  
 * —│————————————→ x
 *
 * </pre>
 *
 * @author    ManerFan 2015年4月17日
 */
public class MinimumBoundingPolygon {

    public static LinkedList<Point> findSmallestPolygon(List<Point> ps) {
        if (null == ps || ps.isEmpty()) {
            return null;
        }

        Point corner = findStartPoint(ps);
        if (null == corner) {
            return null;
        }

        double minAngleDif, oldAngle = 2 * Math.PI;
        LinkedList<Point> bound = new LinkedList<>();
        do {
            minAngleDif = 2 * Math.PI;

            bound.add(corner);

            Point nextPoint = corner;
            double nextAngle = oldAngle;
            for (Point p : ps) {
                if (p.founded) { // 已被加入邊界鏈表的點
                    continue;
                }

                if (p.equals(corner)) { // 重合點
                    /*if (!p.equals(bound.getFirst())) {
                        p.founded = true;
                    }*/
                    continue;
                }

                double currAngle = DiscretePointUtil.angleOf(corner, p); /* 當前向量與x軸正方向的夾角 */
                double angleDif = DiscretePointUtil.reviseAngle(oldAngle - currAngle); /* 兩條向量之間的夾角（順時針旋轉的夾角） */

                if (angleDif < minAngleDif) {
                    minAngleDif = angleDif;
                    nextPoint = p;
                    nextAngle = currAngle;
                }
            }

            oldAngle = nextAngle;
            corner = nextPoint;
            corner.founded = true;
        } while (!corner.equals(bound.getFirst())); /* 判斷邊界是否閉合 */

        return bound;
    }

    /** 查找起始點（保證y最大的狀況下、儘可能使x最小的點） */
    private static Point findStartPoint(List<Point> ps) {
        if (null == ps || ps.isEmpty()) {
            return null;
        }

        Point p = ps.get(0);
        ListIterator<Point> iter = ps.listIterator();

        while (iter.hasNext()) {
            Point point = iter.next();
            if (point.getY() > p.getY() || (point.getY() == p.getY() && point.getX() < p.getX())) { /* 找到最靠上靠左的點 */
                p = point;
            }
        }

        return p;
    }
}

結合上邊的幾張圖，想必不難看懂
如下附上一張實際效果圖

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