劍指offer：變態跳臺階

題目描述

一隻青蛙一次能夠跳上1級臺階，也能夠跳上2級……它也能夠跳上n級。求該青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法。

 

思路

1. 首先想到的解決方案是根據普通跳臺階題目改編，由於能夠跳任意級，因此要加上前面臺階的全部可能，最後再加上能夠一步跳上最後一階的可能。

  
 
 
   public 
 
   class Solution { 

  
   
   
   

  
 
 
   public int JumpFloorII(int target) { 

  
   
   
   

  
 
 
   if (target == 
 
   1) 

  
   
   
   

  
 
 
   return 
 
   1; 

  
   
   
   

  
 
 
   if (target == 
 
   2) 

  
   
   
   

  
 
 
   return 
 
   2; 

  
   
   
   

  
 
 
   // sum用於保存前面全部臺階次數的和 

  
   
   
   

  
 
 
   int sum = 
 
   3; 

  
   
   
   

  
 
 
   int total = 
 
   0; 

  
   
   
   

  
 
 
   for ( 
 
   int i= 
 
   3; i<=target; i++){ 

  
   
   
   

  
 
 
   // +1 的意思就是一步就跳上來 

  
   
   
   

  

   
  total = sum + 
 
   1; 

  
   
   
   

  

   
  sum += total; 

  
   
   
   

  

   
  } 

  
   
   
   

  
 
 
   return total; 

  
   
   
   

  

   
  } 

  
   
   
   

  

   
  } 

  

 

2. 更進一步咱們能夠推導出該問題的通項公式

關於本題，前提是n個臺階會有一次n階的跳法。分析以下: 
f(1) = 1 
f(2) = f(2-1) + f(2-2) //f(2-2) 表示2階一次跳2階的次數。 
f(3) = f(3-1) + f(3-2) + f(3-3) 
… 
f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + … + f(n-(n-1)) + f(n-n)

說明： 
1）這裏的f(n) 表明的是n個臺階有一次1,2,…n階的 跳法數。 
2）n = 1時，只有1種跳法，f(1) = 1 
3) n = 2時，會有兩個跳得方式，一次1階或者2階，這回歸到了問題（1） ，f(2) = f(2-1) + f(2-2) 
4) n = 3時，會有三種跳得方式，1階、2階、3階， 
那麼就是第一次跳出1階後面剩下：f(3-1);第一次跳出2階，剩下f(3-2)；第一次3階，那麼剩下f(3-3) 
所以結論是f(3) = f(3-1)+f(3-2)+f(3-3) 
5) n = n時，會有n中跳的方式，1階、2階…n階，得出結論： 
f(n) = f(n-1)+f(n-2)+…+f(n-(n-1)) + f(n-n) => f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n-1)

6) 由以上已是一種結論，可是爲了簡單，咱們能夠繼續簡化： 
f(n-1) = f(0) + f(1)+f(2)+f(3) + … + f((n-1)-1) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n-2) 
f(n) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n-2) + f(n-1) = f(n-1) + f(n-1) 
能夠得出： 
f(n) = 2*f(n-1)

7) 得出最終結論,在n階臺階，一次有一、二、…n階的跳的方式時，總得跳法爲：

  

   
  | 
 
   1 ,(n= 
 
   0 ) 

  
   
   
   

  

   
  f(n) = | 
 
   1 ,(n= 
 
   1 ) 

  
   
   
   

  

   
  | 
 
   2*f(n 
 
   -1),(n>= 
 
   2) 

  

  
因此能夠寫出以下代碼：

  
 
 
   public 
 
   class Solution { 

  
   
   
   

  
 
 
   public int JumpFloorII(int target) { 

  
   
   
   

  
 
 
   if (target <= 
 
   0) { 

  
   
   
   

  
 
 
   return - 
 
   1; 

  
   
   
   

  

   
  } 
 
   else 
 
   if (target == 
 
   1) { 

  
   
   
   

  
 
 
   return 
 
   1; 

  
   
   
   

  

   
  } 
 
   else { 

  
   
   
   

  
 
 
   return 
 
   2 * JumpFloorII(target - 
 
   1); 

  
   
   
   

  

   
  } 

  
   
   
   

  

   
  } 

  
   
   
   

  

   
  } 

  

  
3, 固然咱們拒絕遞歸調用，由於遞歸會形成不少重複計算或是內存溢出風險

  
 
 
   class Solution { 

  
   
   
   

  
 
 
   public: 

  
   
   
   

  
 
 
   int jumpFloorII(int number) { 

  
   
   
   

  
 
 
   int jumpFlo= 
 
   1; 

  
   
   
   

  
 
 
   while(--number) 

  
   
   
   

  

   
  { 

  
   
   
   

  

   
  jumpFlo*= 
 
   2; 

  
   
   
   

  

   
  } 

  
   
   
   

  
 
 
   return jumpFlo; 

  
   
   
   

  

   
  } 

  
   
   
   

  

   
  }; 

  
   
   
   

  
 

  

 

4. 還有什麼地方能夠優化呢？ 乘法是否是還能夠用二進制位移操做優化呢！

  
 
 
   public 
 
   class Solution { 

  
   
   
   

  
 
 
   public int JumpFloorII(int target) { 

  
   
   
   

  
 
 
   if(target<= 
 
   0) 

  
   
   
   

  
 
 
   return 
 
   0; 

  
   
   
   

  
 
 
   return 
 
   1<<(target- 
 
   1); 

  
   
   
   

  

   
  } 

  
   
   
   

  

   
  }