09-07 NOIP模擬測試39

指望得分：100+40+40

實際得分：90+40+35

此次T1還算順，快1t打完帶拍，速度仍是慢些。T1爭取40min內

T2想了一個小時，沒什麼思路，最後打了個套路狀壓+騙分

T3推到了d(x)爲奇數x全部質因子的次冪全偶，而後發現時間不大夠（不到40min）又忘線篩怎麼打，因而去打暴力。最後暴力nm*sqrt(nm)+表水到35

 

A. 工業題

60%：式子能夠遞歸，f[x][y]可能被屢次遞歸，記憶化下。O(NM)

100%：

先不考慮a，b

答案要在邊界計算，把f[n][m]的式子不斷展開到邊界，可知f[i][0]的係數是(i,1)到(n,m)的路徑條數，能夠理解爲每條路徑都會帶一份f[i][0]過去

每在一個方向移動就會乘上對應的a或b，因此用x y路徑長度分別快速冪便可。

即$C(n+m-i-1,n-i) \times f[i][n] \times a^{m} \times b^{n-i}$

另外一邊同理

 

B. 卡常題

 

 

 

C. 玄學題

發現每次貢獻取決於指數的奇偶

約數個數是積性函數。當x,y互質時有，$d(x,y)=d(x) \times d(y)$

$d(x)=d(\prod p_i^{x_i}) \\
=\prod d(p_i^{x_i}) \\ =\prod (x_i+1)$

當且僅當$x_i$全偶時$d(x)$爲奇數，也就是說x是個徹底平方數

即指數的和中有多少奇數，轉化子問題爲i與[1,m]中的多少數能構成徹底平方數。

把i，j中的$x_i$偶項除掉，若獲得的兩個數相等則知足，也能夠表示爲$i=pq^2 \ \ \  j=pr^2$

這樣咱們只要求出[1,m]中有多少知足的r，

$pr^2 \leq m
\\ r^2 \leq \left \lfloor \frac{m}{p}   \right \rfloor
\\ r \leq \sqrt{ \left \lfloor \frac{m}{p}   \right \rfloor}$

而後考慮求出p[]，線性篩。順便複習

p(x)是個積性函數

每一個數只能被它的最小質因子篩到，因此對於一組因子它能篩到的數的最小因子都不超過$min(p_i)$

在不互質的狀況下根據最小質因子的數量在p[i]上乘或除以prime[j]便可

 

鴿一下