《總體微分幾何初步》教材勘誤

《總體微分幾何初步》教材勘誤

沈一兵編著的2009年7月高等教育出版社的《總體微分幾何初步》(第三版)是南京大學《微分幾何》課程(2021年春季學期)的中文參考教材，由於精力所限，只給出在學習過程當中發現的前三章的勘誤(其中第7個錯誤和第8個錯誤由陳學長老師指出).

在第零章到第二章，至少有下面八個錯誤.

0.2節， \(E^3\) 中的曲面，P9，公式(2.9)，對偶基

\[\omega^1=\sqrt{g_{11}}du^1,\qquad\omega^2=\dfrac{g_{12}}{\sqrt{g_{11}}}du^1+\dfrac{\sqrt{g_{11}g_{22}-g_{12}^2}}{\sqrt{g_{11}}}du^2. \]

應改成

\[\omega^1=\sqrt{g_{11}}du^1+\dfrac{\sqrt{g_{11}g_{22}-g_{12}^2}}{\sqrt{g_{11}}}du^2,\qquad\omega^2=\dfrac{g_{12}}{\sqrt{g_{11}}}du^1. \]

0.3節，曲面上的曲率，P15，最後一段，主方向：

由線性代數知，Weingarten變換有兩個實的特徵值 \(k_1,k_2\) ，並可選取對應的特徵向量 \(e_1,e_2\) ，使得 \(e_\alpha e_\beta=\delta^\alpha_\beta\) ，且
\(W(e_\alpha)=k_\alpha e_\alpha\) .

應改成

由線性代數知，Weingarten變換有兩個實的特徵值 \(k_1,k_2\) ，並可選取對應的特徵向量，做爲 \(e_1,e_2\) 在 \(x_1,x_2\) 下的座標，使得 \(e_\alpha e_\beta=\delta^\alpha_\beta\) ，且 \(W(e_\alpha)=k_\alpha e_\alpha\) .

0.3節，曲面上的曲率，P18，中間一段，二階近似：

利用(3.16)，記 \(\delta=\sqrt{(\Delta u^1)^2+(\Delta u^2)^2}\) ，它的二階近似是

\[x(u^1+\Delta u^1,u^2+\Delta u^2)\\ =x(u^1,u^2)+[\Delta u^1\sqrt{g_{11}}+o(\delta)]e_1+[\Delta u^2\sqrt{g_{22}}+o(\delta)]e_2\\ +\dfrac{1}{2}[h_{11}(\Delta u^1)^2+h_{22}(\Delta u^2)^2+o(\delta^2)]e_3.\]

應改成

利用(3.16)，記 \(\delta=\sqrt{(\Delta u^1)^2+(\Delta u^2)^2}\) ，它的二階近似是

\[x(u^1+\Delta u^1,u^2+\Delta u^2)\\ =x(u^1,u^2)+[\Delta u^1\sqrt{g_{11}}+\Gamma_{\alpha\beta}^1\sqrt{g_{11}}\Delta u^\alpha\Delta u^\beta+o(\delta^2)]e_1\\ +[\Delta u^2\sqrt{g_{22}}+\Gamma_{\alpha\beta}^2\sqrt{g_{22}}\Delta u^\alpha\Delta u^\beta+o(\delta^2)]e_2\\ +\dfrac{1}{2}[h_{11}(\Delta u^1)^2+h_{22}(\Delta u^2)^2+o(\delta^2)]e_3.\]

0.3節，曲面上的曲率，P20，中間一段，全臍曲面：

對上式兩邊求導，可得

\[n_{12}=-\lambda x_{12}-\dfrac{\partial\lambda}{\partial u^2}x_1. \]

應改成

局部 \(\lambda=\dfrac{h_{\alpha\beta}}{g_{\alpha\beta}}\) 光滑，對上式兩邊求導，可得

\[n_{12}=-\lambda x_{12}-\dfrac{\partial\lambda}{\partial u^2}x_1. \]

2.1節，平面曲線的某些總體性質，P65，中間一段，旋轉指標：

所以

\[\int_0^Lk_rds=\int_0^l\left(\dfrac{d\theta}{dt}\right)ds=\theta(l)-\theta(0)=2\pi i_r(C). \]

應改成

所以

\[\int_0^Lk_rds=\int_0^l\left(\dfrac{d\theta}{dt}\right)dt=\theta(l)-\theta(0)=2\pi i_r(C). \]

2.1節，平面曲線的某些總體性質，P70，習題8，平行曲線：

(2) \(\bar{k}_r(s)=\dfrac{k_r(s)}{1+a}\) .

應改成

(2) \(\bar{k}_r(s)=\dfrac{k_r(s)}{1+ak_r(s)}\) .

2.2節，空間曲線的某些總體性質，P81，開頭一段，球面曲線的全撓率定理：

根據定理條件，(2.15)中積分與路徑 \(C\) 無關，於是被積函數是某個函數的全微分( \(\mod d\theta\) ).所以，存在函數 \(F:U\to R\) ，使

\[(de_2)Q=dF=F_1\omega^1+F_2\omega^2. \]

應改成

根據定理條件，(2.15)中積分與路徑 \(C\) 無關，選取 \(\sigma=\sigma_0\in\mathbb{Z}\) 的閉曲線族中的曲線，則被積函數是某個函數的全微分.所以，存在函數 \(F:U\to R\) ，使

\[(de_2)Q=dF=F_1\omega^1+F_2\omega^2. \]

2.2節，空間曲線的某些總體性質，P81，中間一段，球面曲線的全撓率定理：

因爲 \(\omega^1\) 和 \(\omega^2\) 是線性獨立的，故從上式推得

\[F_1=0,F_2=0. \]

應改成

因爲 \(u^1,u^2\) 是獨立的，故 \(\omega^1,\omega^2\) 是獨立的，故從上式推得

\[F_1=0,F_2=0. \]

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