二項式定理學習筆記（詳解）

二項式定理好難啊...學了很久 \(QWQ\)

這篇博客寫的有點雜，主要講證實，僅供娛樂？

二項式定理的常見形式

首先咱們看看這個常見的使人頭疼的式子：

\[(x+1)^n=\sum_{i=0}^{n} C(n,i) ~ x^i\]

這個式子爲何是對的呢？

咱們考慮將左邊的式子寫成徹底形式：

\[(x+1)(x+1)···(x+1)\]

那麼咱們發現其實能夠每次從這 \(n\) 個 \((x+1)\) 中選出一個 \(x\) 或者一個 \(1\) ，而後將 n 個選出來的數字相乘累加進 \(ANS\)

那麼咱們考慮從 \(n\) 個 \[(x+1)\] 中選出 \(i\) 個 \(x\) 的狀況有多少種呢

這其實就是組合數中的 \(C(n,i)\)，因而乎咱們發現原來的式子是正確的

而後講講二項式定理的一個應用：

咱們考慮從 \(n\) 個物品中選出選出 \(t\) 個物品，那麼有多少種選擇的方案呢？

既然是二項式定理的應用，那麼怎麼才能將二項式定理套進去呢？

先別多想，咱們考慮用 \((x^0+x^1)\) 表示某樣物品選或者不選（這裏 \(0\) 次項就是不選，而 \(1\) 次項則是選），這二者相互獨立

那麼咱們能夠根據全部物品兩兩獨立將它們的選擇方案乘起來，就是 \((x^0+x^1)^n\)

考慮爲何能夠這麼乘？不用想那麼多感性理解便可，不理解的話看到下面也能懂的

那麼咱們考慮一下以前的問題：選出 \(t\) 個物品

那麼這裏咱們將 \(n\) 個 \((x^0+x^1)\) 相乘以後 \(x^t\) 的係數其實就是方案數了，由於在這裏 \(x^t\) 只可能來自 \(t\) 個不一樣的 \((x^0+x^1)\)中的 \(x^1\)， 也就是說它的含義就是咱們在 \(n\) 個\((x^0+x^1)\)中選擇 \(t\) 個 \(x^1\) 而後每次選出一種方案就令 \(x^t\) 前的係數加一

而後咱們把 \(x^0\) 等價成 \(1\)，也就是二項式定理的常見形式了

小插曲

咱們定義組合數 \(C(n,m)\) 爲 \(\frac{n(n-1)(n-2)···(n-m+1)}{m!}\) ，這樣定義對於下面的證實更有幫助

而後咱們再考慮將原式的 求和函數的 終止條件換一下：

\[(x+1)^n=\sum_{i=0}^{\infty} C(n,i) x^i \]

這時候咱們能夠知道這個式子和以前是等價的，由於 \(i\) 大於 \(n\) 的時候 \(C(n,i)\) 是等於 \(0\) 的

至於爲何要這樣表示看到下面你就知道了

指數爲負的二項式定理

而後咱們考慮一下 \((x+1)\) 的指數推廣到 負數 的狀況

這個時候其實也有：

\[(x+1)^{-n}=\sum_{i=0}^{\infty} C(-n,i) ~ x^i=\sum_{i=0}^{\infty} (-1)^i~C(n+i-1,i)~x^i\]

這時候你可能會很是的驚訝... 組合數還能有負的？！

遺憾的告訴你（什麼鬼），組合數能夠有負的，由於這裏的組合數使按以前小插曲裏面的定義來的

那麼咱們考慮怎樣轉移到最右邊的式子：

\[C(-n,m)=\frac{(-n)(-n-1)(-n-2)···(-n-m+1)}{m!}\]

而後咱們吧上面的式子裏面全部項取反，也就是將他們的符號提取出來，就成了：

\[C(-n,m)=(-1)^{(-n)-(-n-m+1)+1}\frac{n(n+1)(n+2)···(n+m-1)}{m!}\]

\[ = (-1)^{m}\frac{n(n+1)(n+2)···(n+m-1)}{m!}\]

\[ = (-1)^{m} C(n+m-1,m)\]

就是這樣（或許你已經看到過上面的式子了）

把上面的式子再寫一遍就是： \((x+1)^{-n}=\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^i C_{n+i-1}^i~x^i\)

當加號變爲減號

（在這裏咱們略去 n 爲負數的狀況）

首先的話，咱們考慮將上面式子中的 \(x\) 取負，那麼原式就變成了：

\[(-x+1)^n=\sum_{i=0}^{\infty} (-1)^i~ C(n,i)~x^i\]

這樣寫很差看，換種寫法

\[(1-x)^n=\sum_{i=0}^{\infty} (-1)^i~ C(n,i)~x^i\]

這個式子...（相信你們可能看到過的吧）

這裏的話後面的式子其實就是把 \(x\) 的負號提了出來，沒什麼特別的

可是你有沒有感受這個式子有點眼熟？

沒錯啊，這和 指數爲負的二項式定理 中長得有點像的，組合數前面都帶着個正負號

因而咱們考慮一下吧這裏的 n 也取負呢？

那麼原式就變成了：

\[(1-x)^{-n} =\sum_{i=0}^{\infty} C(n+i-1,i)~x^i\]

也就是說兩個正負號抵消掉了...\(QWQ\)

這個式子實際上是很是有用的，它會在你學生成函數的時候派上大用場

（至於生成函數嘛，登博主學完以後還有時間的話可能就會寫篇博客介紹一下）

二項式定理的通常形式

其實上面講了這麼多都是二項式定理的特殊形式（但其實都是比較常見+實用的）

因而下面說說它的通常形式：

\[(x+y)^n=\sum_{i=0}^{n} C(n,i) a^i·b^{n-i}\]

這個東西能夠理解爲有 n 堆物品，每堆裏面有 x 和 y ，每堆只能選一個，要求選擇的全部方案之和

具體證實就毋須多言了，上面已經證了一大堆了

關於廣義二項式定理

其實廣義二項式定理就是上面的那個式子，咱們只要將指數 n 的定義域改爲實數就行了

也就是說，廣義二項式定理對於實數也成立，也就是：

\[(x+y)^α=\sum_{i=0}^{α} C(α,i) a^i·b^{α-i}\]

而關於 \(C(α,i)\) 的值經過小插曲中組合數的定義代就行了

論二項式定理與組合數的關♂系

咱們看到上面的二項式定理中都出現了組合數，那麼他們二者之間有什麼內在聯繫呢？或者說咱們能夠經過二項式定理得出組合數的一些性質麼？

答案固然是確定的啦！

第一種狀況

咱們考慮吧二項式定理的公式中的 \(x\) \(y\) 都變成 \(1\)，那麼咱們會發現下面這個式子：

\[(1+1)^n=\sum_{i=0}^{n} C_{n}^{i}\]

這能說明什麼呢？很明顯啊！

咱們考慮前面其實就是 2 的 n 次冪，後面就是 n 個物品裏面選出 1~n 個的方案數之和，那麼由二項式定理能夠得知他們二者是相等的

從另外一個角度出發， n 個物品裏面任意選擇的方案數等於 \(\sum_{i=0}^nC_{n}^i\)，同時也等於 \(2^n\)

前面的式子不須要多解釋，考慮後面的式子就是每一個物品有選或者不選兩個選擇，那麼總方案數等於全部物品選擇的方案數的乘積，這樣一來二者的相等關係也就很是明顯了

那麼咱們再考慮一下楊輝三角，楊輝三角的第 i 行 第 j 列對應着 \(C_i^j\)

上面的相等關係也就說明了楊輝三角的第 i 行全部數之和等於 \(2^i\)

第二種狀況

咱們再考慮把 x 變成 1， y 變成 0，這二者會產生什麼樣的反應呢？咱們看下面的式子：

\[(1-1)^n=\sum_{i=0}^{n} (-1)^i~C_{n}^{i}\]

（注意，不要認爲等式左邊恆等於 0 ！ 咱們默認 \(x^0\) 爲 1 ，對於任意實數！ 同時這裏也能夠倒過來證實 0 的 0 次冪爲 1，算是吧？）

那麼咱們發現除去 \(n = 0\) 的狀況，\(C_n^i\) 的偶數項之和 減去 \(C_n^i\) 的奇數項之和 等於 0 ！

換句話說， \(C_n^i\) 的偶數項之和 等於 \(C_n^i\) 的奇數項之和 ！

這裏不知道如何解釋了，只能說對於 n 爲奇數的狀況考慮組合數的對稱性（即 \(C_n^i=C_n^{n-i}\)）

而後對於 n 爲偶數的狀況考慮 掐頭去尾，每一個偶數項都對應上一行的兩個相鄰元素之和，不相交而且取遍了上一行的全部元素，而奇數項同理，因而二者相等

那麼這裏上一張圖你確定就懂了(本身感覺一下)

考慮一下楊輝三角，也就是說楊輝三角每一行的 偶數列對應的項之和 等於 奇數列對應的項之和 (由上圖也能夠看出來)

可是別忘了考慮特殊狀況，咱們剛剛說過 \(n=0\) 除外

但其實考慮 n=0 的狀況也簡單，就是當 \(n=0\) 時組合數只有一項且爲 1 ，而後咱們把原來的式子倒過來表達：

\[\sum_{i=0}^{n} (-1)^i~C_{n}^{i}=[n==0]=\epsilon(n)\]

其實 \(\epsilon\) 就是單位元函數

總結

二項式定理頗有趣，可是看着上面的內容貌似沒什麼用，但等你學到深處就會發現常常會看到它的身影，到那時別忘了再翻開這篇博客，或許你會有新的收穫~

Bye~Bye~