矩陣樹Matrix-Tree定理與行列式

簡單入門一下矩陣樹Matrix-Tree定理。(本篇目不涉及矩陣樹相關證實)

一些定義與定理

• 對於一個無向圖 G ，它的生成樹個數等於其基爾霍夫Kirchhoff矩陣任何一個N-1階主子式的行列式的絕對值。
• 所謂的N-1階主子式就是對於一個任意的一個 r ，將矩陣的第 r 行和第 r 列同時刪去獲得的新矩陣。
• 基爾霍夫Kirchhoff矩陣的一種求法：

  基爾霍夫Kirchhoff矩陣 K =度數矩陣 D - 鄰接矩陣 A

基爾霍夫Kirchhoff矩陣的具體構造

• 度數矩陣D：是一個 ${N}\times{N}$ 的矩陣，其中

  $D[i][j]=0\;{(i}\neq{j)}$，$D[i][i]=i號點的度數$

• 鄰接矩陣A：是一個 ${N}\times{N}$ 的矩陣，其中

  ${A[i][i]=0}\;{,}\;{A[i][j]=A[j][i]=i,j之間的邊數}$

• 而後基爾霍夫Kirchhoff矩陣K=D-A
• 舉個例子，對於以下的無向圖，三個矩陣分別爲

行列式det(K)求法

• 已經得出了基爾霍夫Kirchhoff矩陣，那麼隨便去掉某一行一列並計算出新矩陣的行列式，其絕對值即爲生成樹個數。
• ${det(K)=}\sum_{P}^{ }\;{(}{(-1)}^{\tau{(P)}}\times{K}_{1,p1}\times{K}_{2,p2}\times{K}_{3,p3}\times\cdots\times{K}_{N,pN}{)}$
• 上面的式子中的 P 爲 1~N 的任意一個排列。$\tau{(P)}$表示排列 P 的逆序對數。而那個求和式的每一項能夠看作是在矩陣中選出N個數，使得他們的行列都不重合。
• 求和式共有$N!$項，暴力求法的複雜度 ${O(N!)}\times{N}$
• 這個複雜度太高了，看完了下面的行列式性質，而後引出優化求解方法。

行列式的性質

• 性質.1  互換矩陣的兩行(列)，行列式變號。

  這個須要簡單說明一下。

  考慮對於原矩陣 K，咱們能夠獲得其行列式的求和式：

  ${det(K)=}\sum_{P}^{ }\;{(}{(-1)}^{\tau{(P)}}\times{K}_{1,p1}\times{K}_{2,p2}\times{K}_{3,p3}\times\cdots\times{K}_{N,pN}{)}$

  若交換某兩行的位置後獲得了 K' 矩陣，若寫出其行列式的求和式，不難發現，若是不看符號位的變化，只看每個乘積項，那麼這兩個的矩陣的行列式的求和式是徹底相同的。咱們把相同的乘積項移到對應的位置，如圖示：

  可是很顯然，兩個矩陣的這一項對應的排列 P 和 P' 不一樣：

  P :1 2 4 3

  P':3 2 4 1

  那這個符號位的變化是什麼呢？

  從例子看得出來，τ(P) = 1 ，符號位爲 –1；τ(P')=4，符號位爲 1。

  那是否是都是這樣的呢？

  即原來是 -1，如今就是 1；即原來是 1，如今就是 -1？逆序對變化量爲奇數？

  答案是確定的，證實以下：

  由此可知，逆序對數的變化量爲奇數，即兩個det()求和式的對應的每一項的符號位都相反，因此互換矩陣的兩行(列)，行列式變號。

  （有了這個性質，下面的就比較簡單了。）

• 性質.2  若是矩陣有兩行(列)徹底相同，則行列式爲 0

  證實，由性質.1可知：由於交換這兩行，獲得的矩陣和原來相同，可是又要變號，則行列式的值只能爲 0。

• 性質.3  若是矩陣的某一行(列)中的全部元素都乘以同一個數k，新行列式的值等於原行列式的值乘上數k。

  這個的證實就是把那個求和式的每一項都提出一個公因子k就行了。

• 推論  若是矩陣的某一行(列)中的全部元素都有一個公因子k，則能夠把這個公因子k提到行列式求和式的外面。
• 性質.3  若是矩陣有兩行(列)成比例(比例係數k)，則行列式的值爲 0

  證實：也是把其中一行提出一個公因數k，那麼剩下的det( )求和式所表明的矩陣中存在一行或一列徹底相同，則值爲 0。

• 性質.4  若是把矩陣的某一行(列)加上另外一行(列)的k倍，則行列式的值不變。

  證實：能夠從求和式子的每一項的那一行的那個元素下手，

  把det( )求和式拆成兩個 det( )求和式：

  det₁( )與原矩陣的行列式求法相同

  det₂( )所表明的矩陣中有兩行成比例，比例係數爲k，值爲0 。

  因此相比原來的行列式，值不變。

優化行列式的求法

• 首先對於這樣一個矩陣：

  注意到了麼，是一個上三角矩陣（左下半部分的元素值爲 0）。

  其行列式的值爲對角線的乘積，（同理下三角矩陣）

  由於只有 P = 1 2 3 4 時，乘積項中才沒有 0出現。

• 同時注意到性質.4，因此採用高斯消元的方法，把矩陣消爲一個上三角矩陣後，而後求出對角線的積，即是該矩陣的行列式的值。
• 複雜度 O(N³)，快了不少。

 

• 另外再加一個。

  若是要求的矩陣不容許出現實數，且須要取模。

  則採用展轉相除的高斯消元法。時間複雜度多一個 O(logN)

  例題和代碼點擊這裏，給矩陣寫了一個結構體，應該仍是比較清晰的哈。