【經常使用數據結構——二叉樹（還有三叉四叉...？ ）】

---恢復內容開始---

簡介

　　在計算機科學中，二叉樹是每一個結點最多有兩個子樹的有序樹。一般子樹的根被稱做「左子樹」（left subtree）和「右子樹」（right subtree）。二叉樹常被用做二叉查找樹和二叉堆或是二叉排序樹。

基本術語　

1. 子樹：除了根節點外，每一個子節點均可以分爲多個不相交的子樹。
2. 孩子與雙親：若一個結點有子樹，那麼該結點稱爲子樹根的"雙親"，子樹的根是該結點的"孩子"。
3. 兄弟：具備相同雙親的節點互爲兄弟。
4. 節點的度：一個節點擁有子樹的數目。
5. 葉子：沒有子樹，也便是度爲0的節點。
6. 分支節點：除了葉子節點以外的節點，也便是度不爲0的節點。
7. 內部節點：除了根節點以外的分支節點。
8. 層次：根節點爲第一層，其他節點的層次等於其雙親節點的層次加1.
9. 樹的高度：也稱爲樹的深度，樹中節點的最大層次。
10. 有序樹：樹中節點各子樹之間的次序是重要的，不能夠隨意交換位置。
11. 無序樹：樹種節點各子樹之間的次序是不重要的。能夠隨意交換位置。
12. 森林：0或多棵互不相交的樹的集合。

基本形態

也就五種，從左往右分別是空樹，只有根節點的樹，根節點和左兒子，根節點和右孩子，根節點和左右孩子。

基本性質

1.二叉樹第i層上的結點數目最多爲2^i-1(i>=1)

2.深度爲k的二叉樹至多有2^k-1個結點（k>=1）

3.包含n個結點的二叉樹的高度至少爲(log₂n)+1

4.在任意二叉樹中，若度爲0的個數爲n₀，度爲2的結點數爲n₂，則n₀=n₂+1

5.若是對一棵有n個節點的徹底二叉樹的節點按層序編號（從第一層開始到最下一層，每一層從左到右編號），對任一節點i有：

1. 若是i=1 ，則節點爲根節點，沒有雙親。
2. 若是2*i > n ，則節點i沒有左孩子 ；不然其左孩子節點爲2*i （n爲節點總數）
3. 若是2*i+1>n ，則節點i沒有右孩子；不然其右孩子節點爲2*1+1

滿二叉樹

　　就像它的名字同樣，它是滿的（廢話）

　　滿二叉樹是指一個高度爲n的樹有2^(n-1)個結點（其實就是每一個點都有兩個孩子，除了最後一層的單身狗）

 

徹底二叉樹

　　徹底二叉樹是指一顆二叉樹的葉子結點只在最後兩層，而且最後一層的葉子結點都集中在左邊。顯然，滿二叉樹也是一顆徹底二叉樹。

遍歷二叉樹

　　對於二叉樹的遍歷，咱們分爲三種狀況：

一，前序遍歷       根結點->左子樹->右子樹

如下順序就是124583796

1 void work(int x)
2 {
3     if(!x)return;//若是這個點有效 
4     printf("%d ",x);//根 
5     work(l[x]);//左子樹 
6     work(r[x]);//右子樹 
7 }

 

 

二，中序遍歷       左子樹->根結點->右子樹

如下順序就是428519736

 

1 void work(int x)
2 {
3     if(!x)return;//若是這個點有效 
4     work(l[x]);//左子樹 
5     printf("%d ",x);//根 
6     work(r[x]);//右子樹 
7 }

 

三，後序遍歷      右子樹 ->左子樹->根結點

如下順序就是485297631

 

void work(int x)
{
    if(!x)return;//若是這個點有效 
    work(r[x]);//右子樹 
    work(l[x]);//左子樹 
    printf("%d ",x);//根 
}        

 然而它們之間有神奇的關係

中、後序求先序

P1030 求先序排列

 

圖中粉色的表示這一個序分紅了根，左，右三部分（也可能沒有左或右）

首先，你要知道，後序的最後一個確定是根結點，而後你要知道，在一串中序中，找到了它的根結點，那麼它左邊就是左子樹，右邊就是右子樹。

咱們先找到根結點A，而後把中序分爲FDBE和CHG左右子樹，而左子樹的後序就是FDEB，右子樹的後序就是HGC，而後一步一步分解下去，知道不能分解，由於咱們求先序，因此先輸出根結點，而後分別遞歸左、右子樹。

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 void beford(string s2,string s3)//中序and後序 
 4 {
 5     if(s2.size()==0)return;
 6     char root=s3[s3.size()-1];//找到根結點 
 7     cout<<root; //輸出根結點 
 8     int k=s2.find(root);
 9     beford(s2.substr(0,k),s3.substr(0,k));//左子樹 
10     beford(s2.substr(k+1),s3.substr(k,s2.size()-k-1));//右子樹 
11 }
12 int main()
13 {
14     string s2,s3;//1，2，3分別對應前，中，後 
15     cin>>s2>>s3; 
16     beford(s2,s3);
17  } 

中、先序求後序

與上面同理，只須要稍微改動一點便可

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 void beford(string s1,string s2)//先序and中序 
 4 {
 5     if(s1.size()==0)return;
 6     char root=s1[0];//找到根結點 
 7     int k=s2.find(root);
 8     beford(s1.substr(1,k),s2.substr(0,k));//左子樹 
 9     beford(s1.substr(k+1),s2.substr(k+1));//右子樹 
10     cout<<root; //輸出根結點 
11 }
12 int main()
13 {
14     string s1,s2;//1，2，3分別對應前，中，後 
15     cin>>s1>>s2; 
16     beford(s1,s2);
17 }