求最大的正整數n使知足n^2+2000n是徹底平方數

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題目1：求最大的正整數n使知足n^2+2000n是徹底平方數？

 設Ａ=1000

n^2+2An是徹底平方數，求正整數n的值？

解：

設平方數爲m，則有：n^2+2An=m^2  （在本題目中A=1000）

n^2+2An+A^2-A^2=m^2

(n+A)^2 - A^2 = m^2

(n+A)^2 - m^2 = A^2

[(n+A)+m] [(n+A)-m] = A^2

設：

(n+A)+m = C    式子1

(n+A)-m = D    式子2

C * D = A^2

式子1 + 式子2 等於：

2(n + A) = C + D

求得： n = (C + D)/2 - A

若是想要n最大，必須 (C + D)/2 最大。而且C和D是A^2的兩個因數。  

在本題中 A = 1000

C * D = 1000*1000

C和D的可能值爲(1000*1000 , 1) ,(1000*1000/2 , 2) ,(1000*1000/4 , 4) ,(1000*1000/5 , 5) ,(1000*1000/8 , 8) ,(1000*1000/10 ,10) ......

 

當 D =1 ， C = (1000 * 1000) 時，(C + D)/2  (C + D)/2最大，但不是整數。[注1]

只有當 D = 2 ， C = (1000 * 1000)/ 2 時，(C + D)/2 爲正整數 ,而且(C + D)/2最大：

 (C + D)/2 = [ (1000 * 1000)/ 2 + 2 ] /2 。

故 n = [ (1000 * 1000)/ 2 + 2 ] /2 -1000 = 500^2 + 1 - 1000 

解得當 n= 249001 時，n是最大的正整數，使的 n^2+2000n 是徹底平方數

 

題目2：求使n^2+1997n是一個徹底平方數的最大正整數n的值

設：A是個質數。（本題中A=1997）

求使n^2+An是一個徹底平方數的最大正整數n的值

解：

n^2+An=m^2

4n^2+2(2n)A=4m^2

(2n)^2 +2(2n)A + A^2 = (2m)^2 + A^2

(2n+A)^2 - (2m)^2 = A^2

[(2n+A) + 2m] [ (2n+A) - 2m] = A^2

設：C=[(2n+A) + 2m] , D= [ (2n+A) - 2m]

C * D = A^2

C+D=[(2n+A) + 2m]　+ [ (2n+A) - 2m] =　2(2n＋A)

n = [(C+D)/2-A]/2

若是想要n最大，必須 (C + D)/2 最大。而且C和D是A^2的兩個因數。

當C = A^2 & D = 1 時，(C+D)最大爲1+A^2,且(C+D)/2爲整數。[注1] 

本題中　A=1997　& C+D = 1997*1997 +1

n=[(C+D)/2-A]/2

n= ［（1997*1997 +1）/2－1997］/2 =  = ［（3988009 +1）/2－1997］/2 =［（3988010）/2－1997］/2=  (1994005－1997)/2  = 1992008/2 =996004 (是整數)

則：n=996004時，是使n^2+1997n是一個徹底平方數的最大正整數n的值 

題目3：已知n^2+15n+26是一個徹底平方數，求n的值？ 

簡單解：

n^2+15n+26 =(n+13)(n+2) 

設：

n+13=a^2

n+2=b^2

兩式子相減：

a^2-b^2 = 11

(a+b)(a-b) = 11*1

a+b = 11

a-b = 1

a=6

n+13=6*6

則：n=23

 

[注1] 的解釋：

題目4 已知 c*d=A(c,d,A均爲正整數， A>1),求在[1，A]區間中，c+d 的最大值。

解：

由不等式 c+d >= 2*(c*d)^(1/2)

當c = d 時， c+d有最小值2*(A)^(1/2)。故函數y=c+d,當

c=d=(A)^(1/2)時，y有最小值是2*(A)^(1/2)。

 

函數y=c+d = c + A/c 是雙鉤函數​

 

函數y在c取值 0<c<(A)^(1/2)時，是單調遞減的：證實參見附錄

函數y在c 的取值(A)^(1/2) <c<正無窮 時，是單調遞增的：證實參見附錄

又由於c=A，y=A+1  & c=1 y=1+A

1 <c=(A)^(1/2) 而且 c=(A)^(1/2)<A

y的最小值點，c的取值在閉[1，A]區間中，

故在閉[1，A]區間中，c = A 或 c=1 時，y=c+d有極大值1+A

 

附錄：

題目：f(x) = x+ A/x ,A>1 ，x>0 ,分析函數f的單調性。

解：設e>0

f(x+e)- f(x) = [x+e + A/(x+e)]–(x+A/x)

=e+A*[1/(x+e) – 1/x)=e{1-A/[x*(x+e)]}

當x>A^(1/2)

{1-A/[x*(x+e)]}>0

f(x+e)- f(x) >0 ,函數f(x)是遞增的。

 

當0<x<A^(1/2)

{1-A/[x*(x+e)]}<0

f(x+e)- f(x) <0 ,函數f(x)是遞減的。