插值法

一、拉格朗日插值法

①原理

對於平面上已知的n個點，能夠找到一個n-1次多項式y=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_n-1x^n-1，使得該多項式曲線通過這n個點。對於缺失的值，將對應的x值代入多項式便可獲得近似值L(x)。

②公式推算

已知：

將n個點的座標(x_i,y_i)代入多項式，得：

解得拉格朗日插值多項式爲：

其中l_i(x)稱爲插值基函數：

 

拉格朗日插值公式是在節點上給出節點基函數，而後作基函數的線性組合，組合係數爲節點函數值。

 

存在性證實：

對於給定的n個點,拉格朗日插值法的思路是找到一個在點(x_i,y_i)取值爲1，而在其餘點取值都是0的多項式l_i(x)，這樣，多項式y_il_i(x)在點x_i處取值爲y_i，而在其餘點取值爲0。

惟一性證實：

對任意兩個次數不超過n-1的多項式，的差值在全部n個點的取值都爲0：

因此：

當φ(x)≠0時，其次數必定不小於n，可是次數不超過n-1，φ(x)次數不該該超過n-1。因此有：

幾何性質：

基函數l_i(x)可當作由次數不超過n-1的多項式組成的線性空間的一組基底。

若是存在一組係數λ_i，使得：

 

則有：

所以：

證實l_i(x)線性無關。

缺點：

一、在計算中，當插值點增長或減小一個時，所對應的基本多項式就須要所有從新計算，因而整個公式都會變化，很是繁瑣。計複雜度爲O(n²)。

二、當插值點比較多的時候，拉格朗日插值多項式的次數可能會很高，所以具備數值不穩定的特色，也就是說盡管在已知的幾個點取到給定的數值，但在附近卻會和「實際上」的值之間有很大的誤差（如右下圖）[6]。這類現象也被稱爲龍格現象，解決的辦法是分段用較低次數的插值多項式。

③改進——重心拉格朗日插值

不妨設：

其中w_i稱爲重心權，則改進後：

優勢：

一、當數據點的個數增長一個x_n+1時，可在O(n)複雜度內更新每一個w_i(w_i←w_i/(x_i-x_n+1))，以及計算新的重心權w_n+1，並在O(n)時間內計算獲得新的L(x)。

二、牛頓插值法

①原理

牛頓（Newton）插值公式是代數插值方法的一種形式。牛頓差值引入了差商的概念，使其在差值節點增長時便於計算。

②公式推演

求已知的n個點對(x_i,y_i)的全部階的差商公式：

變換獲得：

而後其中1式+(x-x1)·2式+···+(x-x₁)···(x-x_n-1)·n式，獲得：

其中：

P(x)稱爲牛頓插值逼近函數，R(x)稱爲偏差函數。

一、對於P(x)，每當新增一個插值數據點，前面已有的各項不變，計算只增長一項。每項係數均爲各階差商。

二、仍沒有改變拉格朗日的插值曲線在節點處有尖點，不光滑，插值多項式在節點處不可導等缺點。

三、Hermite插值(埃爾米特插值)

①原理

埃爾米特插值是另外一類插值問題，這類插值在給定的節點處，不但要求插值多項式的函數值與原函數值相同。同時還要求在節點處，插值多項式的一階直至指定階的導數值，也與被插函數的相應階導數值相等。

若在某節點x_i，要求插值函數多項式的函數值、一階導數值、直至m_i-1階導數值均與被插函數的函數值相同及相應的導數值相等。咱們稱x_i爲m_i重插值點節。

設原函數爲f(x)，x_i的函數值爲y_i，x_i的插值多項式爲H(x)。

②相關定理

一、惟一性定理： f(x)關於結點x_i的二重Hermite插值多項式存在且惟一。

二、偏差定理

③二重Hermite插值多項式推導

設在[A,B]範圍內，一共有x₀、x₁、···、x_n共n+1個結點，不妨假設x₀<x₁<···<x_n。令設：

根據Hermite插值的要求：

這裏一共給出了2(n+1)個條件，可惟一肯定一個次數不超過2n+1的多項式。列出多項式爲：

採用拉格朗日插值多項式的基函數法進行推導這2n+1個係數。

先求解插值基函數α_i(x)和β_i(x)，共有2n+1個，且每一個基函數都是2n+1次多項式，且知足：

H_2n+1(x)可用插值基函數表示：

接下來就是肯定基函數。

設：

令·：

根據條件可知：

易知l_i(x_i)=1，整理得：

 

解出：

從l_i(x)定義式，對兩邊求導，獲得：

代入獲得α_i(x)表達式：

同理，因爲β_i(x_i)=0以及 ，可設：

因爲l_i(x_i)=1，可知c=1。所以：

 

④證實Hermite插值多項式惟一

使用反證法，假設另存在一個插值多項式爲,則以及知足Hermite插值條件，有：

在每一個結點x_i上均有二重根，則φ(x)有2n+2重根。

但因爲φ(x)是不高於2n+1的多項式，故φ(x)=0。惟一性得證。

⑤計算餘項----偏差定理

仿照拉格朗日插值餘項的證實方法，若f(x)在[A,B]範圍內的2n+2階導數存在，則：

ξ的值與x有關：

⑥三次Hermite插值多項式

當只有2個結點，也就是n=1時，插值多項式記爲H₃(x),不妨設這2個節點爲x_k、x_k+1。

H₃(x)知足：

相應的插值基函數爲：

所以：

其他項爲:

⑦通常Hermite插值多項式

四、分段插值

分段差值就是對每個分段區間[x_i,x_i+1]分別進行插值，則最後所得插值函數爲一分段函數。

①分段線性插值

對每個分段區間[x_i,x_i+1]用1階多項式逼近f(x)，相似拉格朗日插值：

②分段三次Hermite插值：

五、樣條插值(待補充)

樣條插值法是一種以可變樣條來做出一條通過一系列點的光滑曲線的數學方法。插值樣條是由一些多項式組成的，每個多項式都是由相鄰的兩個數據點決定的，這樣，任意的兩個相鄰的多項式以及它們的導數(不包括仇階導數)在鏈接點處都是連續的。該方法不須要已知導數。

①樣條函數定義

設在區間[A,B]上有n+1個結點x₀<x₁<···<x_n，若是存在正整數k使得在[A,B]上的分段函數S(x)知足：

• 在[A,B]上直到k-1階都有連續導數

• 在每一個小區間[x_i,x_i+1]上爲次數不大於k的多項式

則稱S(x)爲k次樣條函數。

②三次樣條插值

一、三次樣條函數定義

在區間[A,B]上有n+1個結點x₀<x₁<···<x_n，已知y_i=f(x_i)，若是分段函數：

知足：

• S(x)在[A,B]爲三次多項式
• 在區間[A,B]上連續

 

• S(x_i)=y_i

則稱S(x)爲三次樣條插值函數。

二、公式推導

易知一共有n個三次多項式，須要待定4n個係數。以[x_i,x_i+1]爲例：

插值條件：

連續性條件：

上述條件一共有4n-2個方程，但未定係數有4n個，剩餘條件經過邊界給出：

第一邊界條件（固定邊界條件）：

第二邊界條件：

當二階導數恆爲0時，稱之天然邊界條件。

週期邊界條件：

三、三轉角法——待定一階係數

四、三彎矩法——待定二階係數

五、B樣條基函數法