漫畫算法：展轉相除法是什麼鬼？

​大四畢業前夕，計算機學院的小灰又一次頂着炎炎烈日，

去某IT公司面試研發工程師崗位......

半小時後，公司會議室，面試開始......

小灰奮筆疾書，五分鐘後......

小灰的思路十分簡單。他使用暴力枚舉的方法，試圖尋找到一個合適的整數 i，看看這個整數可否被兩個整型參數numberA和numberB同時整除。

這個整數 i 從2開始循環累加，一直累加到numberA和numberB中較小參數的一半爲止。循環結束後，上一次尋找到的可以被兩數整除的最大 i 值，就是兩數的最大公約數。

過後，垂頭喪氣的小灰去請教同系的學霸大黃......

展轉相除法， 又名歐幾里得算法（Euclidean algorithm），目的是求出兩個正整數的最大公約數。它是已知最古老的算法， 其可追溯至公元前300年前。

這條算法基於一個定理：兩個正整數a和b（a>b），它們的最大公約數等於a除以b的餘數c和b之間的最大公約數。好比10和25，25除以10商2餘5,那麼10和25的最大公約數，等同於10和5的最大公約數。

有了這條定理，求出最大公約數就簡單了。咱們可使用遞歸的方法來把問題逐步簡化。

首先，咱們先計算出a除以b的餘數c，把問題轉化成求出b和c的最大公約數；而後計算出b除以c的餘數d，把問題轉化成求出c和d的最大公約數；再而後計算出c除以d的餘數e，把問題轉化成求出d和e的最大公約數......

以此類推，逐漸把兩個較大整數之間的運算簡化成兩個較小整數之間的運算，直到兩個數能夠整除，或者其中一個數減少到1爲止。

五分鐘後，小灰改好了代碼......

更相減損術， 出自於中國古代的《九章算術》，也是一種求最大公約數的算法。

他的原理更加簡單：兩個正整數a和b（a>b），它們的最大公約數等於a-b的差值c和較小數b的最大公約數。好比10和25，25減去10的差是15,那麼10和25的最大公約數，等同於10和15的最大公約數。

由此，咱們一樣能夠經過遞歸來簡化問題。首先，咱們先計算出a和b的差值c（假設a>b），把問題轉化成求出b和c的最大公約數；而後計算出c和b的差值d（假設c>b），把問題轉化成求出b和d的最大公約數；再而後計算出b和d的差值e（假設b>d），把問題轉化成求出d和e的最大公約數......

以此類推，逐漸把兩個較大整數之間的運算簡化成兩個較小整數之間的運算，直到兩個數能夠相等爲止，最大公約數就是最終相等的兩個數。

五分鐘後，小灰重寫了代碼......

衆所周知，移位運算的性能很是快。對於給定的正整數a和b，不可貴到以下的結論。其中gcb(a,b)的意思是a,b的最大公約數函數：

當a和b均爲偶數，gcb(a,b) = 2*gcb(a/2, b/2) = 2*gcb(a>>1, b>>1)

當a爲偶數，b爲奇數，gcb(a,b) = gcb(a/2, b) = gcb(a>>1, b)

當a爲奇數，b爲偶數，gcb(a,b) = gcb(a, b/2) = gcb(a, b>>1)

當a和b均爲奇數，利用更相減損術運算一次，gcb(a,b) = gcb(b, a-b)， 此時a-b必然是偶數，又能夠繼續進行移位運算。

好比計算10和25的最大公約數的步驟以下：

1. 整數10經過移位，能夠轉換成求5和25的最大公約數

2. 利用更相減損法，計算出25-5=20，轉換成求5和20的最大公約數

3. 整數20經過移位，能夠轉換成求5和10的最大公約數

4. 整數10經過移位，能夠轉換成求5和5的最大公約數

5. 利用更相減損法，由於兩數相等，因此最大公約數是5

在兩數比較小的時候，暫時看不出計算次數的優點，當兩數越大，計算次數的節省就越明顯。

最後總結一下上述全部解法的時間複雜度：

1.暴力枚舉法：時間複雜度是O(min(a, b)))

2.展轉相除法：時間複雜度不太好計算，能夠近似爲O(log(max(a, b)))，可是取模運算性能較差。

3.更相減損術：避免了取模運算，可是算法性能不穩定，最壞時間複雜度爲O(max(a, b)))

4.更相減損術與移位結合：不但避免了取模運算，並且算法性能穩定，時間複雜度爲O(log(max(a, b)))

本文本來只寫到展轉相除法就終告結束，後來網友們指出還有更優化的解法，看來本身仍是才疏學淺，很感謝你們指出問題。另外，方法的參數默認一定是正整數，因此在代碼中省去了合法性檢查。

文中描述的更相減損術是簡化了的方式。在九章算術原文中多了一步驗證：若是兩數都是偶數，計算差值以前會首先讓兩個數都折半，使得計算次數更少。這種方法作到了部分優化，但古人彷佛沒想到一奇一偶的狀況也是能夠優化的。

因爲篇幅所限，本文省略了關於展轉相除法原和更相減損術的原理及證實。其實證實過程並不複雜，細心的同窗們也能夠本身嘗試研究一下。謝謝你們的捧場！

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