LeetCode Monotone Stack Summary 單調棧小結

 

話說博主在寫 Max Chunks To Make Sorted II 這篇帖子的解法四時，寫到使用單調棧Monotone Stack的解法時，忽然腦中觸電通常，想起了以前曾經在此貼 LeetCode All in One 題目講解彙總(持續更新中...) 的留言區中說要寫單調棧的總結帖，當時答應了要寫，就去 LeetCode 上看標記爲 Stack 的題，但是發現有好多題，並且不少用的不是單調棧，因而博主一個一個的看了起來，可是無奈太多了，一直沒有時間所有看完，就一直沒有動筆寫。雖然說時間就像那啥，擠擠總會有的，可是這不一個恍惚，半年就過去了，若是博主再不開始寫，等回過神來，絕對又是半年。因而，博主決定改變策略，不去看全部題的，而是好壞很少想，直接動筆先寫個大概，留到之後慢慢補充完整吧。

好，廢話很少說，來講單調棧吧。所謂的單調棧 Monotone Stack，就是棧內元素都是單調遞增或者單調遞減的，有時候須要嚴格的單調遞增或遞減，根據題目的具體狀況來看吧。關於單調棧，這個帖子講的不錯，並且舉了個排隊的例子來類比。那麼，博主也舉個生動的例子來講明吧：好比有一天，某家店在發 free food，不少人在排隊，因而你也趕過去湊熱鬧。可是因爲來晚了，隊伍已經很長了，想着否則就插個隊啥的。但發現排在隊伍最前面的都是一些有紋身的大佬，惹不起，只能讚美道，小豬佩奇身上紋，來世還作社會人。因而往隊伍後面走，發現是一羣小屁孩，直接所有攆走，而後排在了社會大佬們的後面。那麼這就是一個單調遞減的棧，按實力遞減。因爲棧元素是後進先出的，因此上面的例子正確的檢查順序應該是從隊尾往前遍歷，小屁孩都攆走，直到遇到大佬中止，而後排在大佬後面（假設這個隊列已經事先按實力遞減排好了）。

明白了單調棧的加入元素的過程後，咱們來看看它的性質，以及爲啥要用單調棧。單調棧的一大優點就是線性的時間複雜度，全部的元素只會進棧一次，並且一旦出棧後就不會再進來了。

單調遞增棧能夠找到左起第一個比當前數字小的元素。好比數組 [2 1 4 6 5]，剛開始2入棧，數字1入棧的時候，發現棧頂元素2比較大，將2移出棧，此時1入棧。那麼2和1都沒左起比自身小的數字。而後數字4入棧的時候，棧頂元素1小於4，因而1就是4左起第一個小的數字。此時棧裏有1和4，而後數字6入棧的時候，棧頂元素4小於6，因而4就是6左起第一個小的數字。此時棧裏有1，4，6，而後數字5入棧的時候，棧頂元素6大於5，將6移除，此時新的棧頂元素4小於5，那麼4就是5左起的第一個小的數字，最終棧內數字爲 1，4，5。

單調遞減棧能夠找到左起第一個比當前數字大的元素。這裏就不舉例說明了，一樣的道理，你們能夠自行驗證一下。

性質搞懂了後，下面來看一下應用，什麼樣的場景下適合使用單調棧呢？能夠看下 Max Chunks To Make Sorted II 這篇帖子的解法四，但這道題並非單調棧的最典型應用，只能說能想到用單調棧確實牛b，但通常狀況下是不容易想到的。咱們來看一些特別適合用單調棧來作的題目吧。

首推 Trapping Rain Water 這道題，雖然博主開始也沒有注意到可使用單調棧來作。但其實是一道至關合適的題，來複習一下題目：

For example, 
Given [0,1,0,2,1,0,1,3,2,1,2,1], return 6.

給了邊界的高度（黑色部分），讓求能裝的水量（藍色部分）。 爲啥能用單調棧來作呢？咱們先來考慮一下，什麼狀況下能夠裝下水呢，是否是必須兩邊高，中間低呢？咱們對低窪的地方感興趣，就可使用一個單調遞減棧，將遞減的邊界存進去，一旦發現當前的數字大於棧頂元素了，那麼就有可能會有能裝水的地方產生。此時咱們當前的數字是右邊界，咱們從棧中至少須要有兩個數字，才能造成一個坑槽，先取出的那個最小的數字，就是坑槽的最低點，再次取出的數字就是左邊界，咱們比較左右邊界，取其中較小的值爲裝水的邊界，而後此高度減去水槽最低點的高度，乘以左右邊界間的距離就是裝水量了。因爲須要知道左右邊界的位置，因此咱們雖然維護的是遞減棧，可是棧中數字並非存遞減的高度，而是遞減的高度的座標。這應該屬於單調棧的高級應用了，可能並非那麼直接就能想出正確的解法。

再來看一道 Largest Rectangle in Histogram，這道求直方圖中的最大矩陣的題，也是很是適合用單調棧來作的，來複習一下題目：

For example,
Given height = [2,1,5,6,2,3],
return 10.

咱們能夠看到，直方圖矩形面積要最大的話，須要儘量的使得連續的矩形多，而且最低一塊的高度要高。有點像木桶原理同樣，老是最低的那塊板子決定桶的裝水量。那麼既然須要用單調棧來作，首先要考慮到底用遞增棧，仍是用遞減棧來作。咱們想啊，遞增棧是維護遞增的順序，當遇到小於棧頂元素的數就開始處理，而遞減棧正好相反，維護遞減的順序，當遇到大於棧頂元素的數開始處理。那麼根據這道題的特色，咱們須要按從高板子到低板子的順序處理，先處理最高的板子，寬度爲1，而後再處理旁邊矮一些的板子，此時長度爲2，由於以前的高板子可組成矮板子的矩形 ，所以咱們須要一個遞增棧，當遇到大的數字直接進棧，而當遇到小於棧頂元素的數字時，就要取出棧頂元素進行處理了，那取出的順序就是從高板子到矮板子了，因而乎遇到的較小的數字只是一個觸發，表示如今須要開始計算矩形面積了，爲了使得最後一塊板子也被處理，這裏用了個小trick，在高度數組最後面加上一個0，這樣原先的最後一個板子也能夠被處理了。因爲棧頂元素是矩形的高度，那麼關鍵就是求出來寬度，那麼跟以前那道 Trapping Rain Water 同樣，單調棧中不能放高度，而是須要放座標。因爲咱們先取出棧中最高的板子，那麼就能夠先算出長度爲1的矩形面積了，而後再取下一個板子，此時根據矮板子的高度算長度爲2的矩形面積，以此類推，直到數字大於棧頂元素爲止，再次進棧，巧妙的一比！

初步來總結一下單調棧吧，單調棧實際上是一個看似原理簡單，可是能夠變得很難的解法。線性的時間複雜度是其最大的優點，每一個數字只進棧並處理一次，而解決問題的核心就在處理這塊，當前數字若是破壞了單調性，就會觸發處理棧頂元素的操做，而觸發數字有時候是解決問題的一部分，好比在 Trapping Rain Water 中做爲右邊界。有時候僅僅觸發做用，好比在 Largest Rectangle in Histogram 中是爲了開始處理棧頂元素，若是僅做爲觸發，可能還須要在數組末尾增長了一個專門用於觸發的數字。另外須要注意的是，雖然是遞增或遞減棧，但裏面實際存的數字並不必定是遞增或遞減的，由於咱們能夠存座標，而這些座標帶入數組中才會獲得遞增或遞減的數。因此對於玩數組的題，若是相互之間關聯很大，那麼就能夠考慮考慮單調棧可否解題。

 

應用實例：

Max Chunks To Make Sorted II

Trapping Rain Water

Largest Rectangle in Histogram

Remove K Digits 

 

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參考資料：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/26465701

https://chuckliu.me/#!/posts/585a2cb4f33c18149026f0be

https://blog.csdn.net/liujian20150808/article/details/50752861

 

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