機器學習的數學基礎-（3、機率論和數理統計）

時間 2019-12-05

標籤機器學習數學基礎機率數理統計欄目應用數學简体版

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機率論和數理統計

隨機事件和機率

1.事件的關係與運算函數

(1) 子事件： $A \subset B$ ，若發生，則發生。.net

(2) 相等事件：，即 $A \subset B$ ，且 $B \subset A$ 。3d

(3) 和事件： $A\bigcup B$ （或），與中至少有一個發生。對象

(4) 差事件：，發生但不發生。事件

(5) 積事件： $A\bigcap B$ （或），與同時發生。數學

(6) 互斥事件（互不相容）： $A\bigcap B=\varnothing$ 。it

(7) 互逆事件（對立事件）：
$A\bigcap B=\varnothing ,A\bigcup B=\Omega ,A=\bar{B},B=\bar{A}$ 變量

2.運算律
(1) 交換律： $A\bigcup B=B\bigcup A,A\bigcap B=B\bigcap A$
(2) 結合律： $(A\bigcup B)\bigcup C=A\bigcup (B\bigcup C)$ ；
$(A\bigcap B)\bigcap C=A\bigcap (B\bigcap C)$
(3) 分配律： $(A\bigcup B)\bigcap C=(A\bigcap C)\bigcup (B\bigcap C)$ bfc

3.德 $\centerdot$ 摩根律lambda

$\overline{A\bigcup B}=\bar{A}\bigcap \bar{B}$ $\overline{A\bigcap B}=\bar{A}\bigcup \bar{B}$

4.徹底事件組

${{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n}}$ 兩兩互斥，且和事件爲必然事件，即 ${{A}_{i}}\bigcap {{A}_{j}}=\varnothing, i\ne j ,\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop \bigcup }}\,=\Omega$

5.機率的基本公式
(1)條件機率:
$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$ ,表示發生的條件下，發生的機率。
(2)全機率公式：
$P(A)=\sum\limits_{i=1}^{n}{P(A|{{B}_{i}})P({{B}_{i}}),{{B}_{i}}{{B}_{j}}}=\varnothing ,i\ne j,\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop{\bigcup }}}\,{{B}_{i}}=\Omega$
(3) Bayes公式：

$P({{B}_{j}}|A)=\frac{P(A|{{B}_{j}})P({{B}_{j}})}{\sum\limits_{i=1}^{n}{P(A|{{B}_{i}})P({{B}_{i}})}},j=1,2,\cdots ,n$
注：上述公式中事件 ${{B}_{i}}$ 的個數可爲可列個。

(4)乘法公式： $P({{A}_{1}}{{A}_{2}})=P({{A}_{1}})P({{A}_{2}}|{{A}_{1}})=P({{A}_{2}})P({{A}_{1}}|{{A}_{2}})$

$P({{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n}})=P({{A}_{1}})P({{A}_{2}}|{{A}_{1}})P({{A}_{3}}|{{A}_{1}}{{A}_{2}})\cdots P({{A}_{n}}|{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n-1}})$

6.事件的獨立性
(1)  與  相互獨立 $\Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B)$
(2)  ，  ，  兩兩獨立
$\Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B)$ ;  ;  ;
(3)  ，  ，  相互獨立
$\Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B)$ ;  ;
;

7.獨立重複試驗

將某試驗獨立重複次，若每次實驗中事件發生的機率爲，則次試驗中發生次的機率爲：
$P(X=k)=C_{n}^{k}{{p}^{k}}{{(1-p)}^{n-k}}$

8.重要公式與結論

(1) $P(\bar{A})=1-P(A)$

(2) $P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$ $P(A\bigcup B\bigcup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)$

(3)

(4) $P(A\bar{B})=P(A)-P(AB),P(A)=P(AB)+P(A\bar{B})$ , $P(A\bigcup B)=P(A)+P(\bar{A}B)=P(AB)+P(A\bar{B})+P(\bar{A}B)$

(5)條件機率 $P(\centerdot |B)$ 知足機率的全部性質，例如：. $P({{\bar{A}}_{1}}|B)=1-P({{A}_{1}}|B)$

$P({{A}_{1}}\bigcup {{A}_{2}}|B)=P({{A}_{1}}|B)+P({{A}_{2}}|B)-P({{A}_{1}}{{A}_{2}}|B)$ $P({{A}_{1}}{{A}_{2}}|B)=P({{A}_{1}}|B)P({{A}_{2}}|{{A}_{1}}B)$
(6)若 ${{A}_{1}},{{A}_{2}},\cdots ,{{A}_{n}}$ 相互獨立，則 $$P(\bigcap\limits_{i=1}^{n}{{{A}_{i}}})=\prod\limits_{i=1}^{n}{P({{A}_{i}})}$ , $P(\bigcup\limits_{i=1}^{n}{{{A}_{i}}})=\prod\limits_{i=1}^{n}{(1-P({{A}_{i}}))}$

(7)互斥、互逆與獨立性之間的關係：與互逆 $\Rightarrow$ 與互斥，但反之不成立，與互斥（或互逆）且均非零機率事件 $\Rightarrow$ 與不獨立。

(8)若 ${{A}_{1}},{{A}_{2}},\cdots ,{{A}_{m}},{{B}_{1}},{{B}_{2}},\cdots ,{{B}_{n}}$ 相互獨立，則 $f({{A}_{1}},{{A}_{2}},\cdots ,{{A}_{m}})$ 與 $g({{B}_{1}},{{B}_{2}},\cdots ,{{B}_{n}})$ 也相互獨立，其中 $f(\centerdot ),g(\centerdot )$ 分別表示對相應事件作任意事件運算後所得的事件，另外，機率爲1（或0）的事件與任何事件相互獨立.

隨機變量及其機率分佈

1.隨機變量及機率分佈

取值帶有隨機性的變量，嚴格地說是定義在樣本空間上，取值於實數的函數稱爲隨機變量，機率分佈一般指分佈函數或分佈律

2.分佈函數的概念與性質

定義： $F(x) = P(X \leq x), - \infty < x < + \infty$

性質：

(1) $0 \leq F(x) \leq 1$

(2) 單調不減

(3) 右連續

(4) $F( - \infty) = 0,F( + \infty) = 1$

3.離散型隨機變量的機率分佈

$P(X = x_{i}) = p_{i},i = 1,2,\cdots,n,\cdots\quad\quad p_{i} \geq 0,\sum_{i =1}^{\infty}p_{i} = 1$

4.連續型隨機變量的機率密度

機率密度 ;非負可積，且:

(1) $f(x) \geq 0$

(2) $\int_{- \infty}^{+\infty}{f(x){dx} = 1}$

(3) 爲的連續點，則:

分佈函數 $F(x) = \int_{- \infty}^{x}{f(t){dt}}$

5.常見分佈

(1) 0-1分佈: $P(X = k) = p^{k}{(1 - p)}^{1 - k},k = 0,1$

(2) 二項分佈: ： $P(X = k) = C_{n}^{k}p^{k}{(1 - p)}^{n - k},k =0,1,\cdots,n$

(3) Poisson分佈: $p(\lambda)$ ： $P(X = k) = \frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda},\lambda > 0,k = 0,1,2\cdots$

(4) 均勻分佈： $f(x) = \{ \begin{matrix} & \frac{1}{b - a},a < x< b \\ & 0, \\ \end{matrix}$

(5) 正態分佈: $N(\mu,\sigma^{2})$ ： $\varphi(x) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{- \frac{{(x - \mu)}^{2}}{2\sigma^{2}}},\sigma > 0,\infty < x < + \infty$

(6)指數分佈: $E(\lambda):f(x) =\{ \begin{matrix} & \lambda e^{-{λx}},x > 0,\lambda > 0 \\ & 0, \\ \end{matrix}$

(7)幾何分佈: $G(p):P(X = k) = {(1 - p)}^{k - 1}p,0 < p < 1,k = 1,2,\cdots.$

(8)超幾何分佈: $H(N,M,n):P(X = k) = \frac{C_{M}^{k}C_{N - M}^{n -k}}{C_{N}^{n}},k =0,1,\cdots,min(n,M)$

6.隨機變量函數的機率分佈

(1)離散型： $P(X = x_{1}) = p_{i},Y = g(X)$

則: $P(Y = y_{j}) = \sum_{g(x_{i}) = y_{i}}^{}{P(X = x_{i})}$

(2)連續型： $X\tilde{\ }f_{X}(x),Y = g(x)$

則: $F_{y}(y) = P(Y \leq y) = P(g(X) \leq y) = \int_{g(x) \leq y}^{}{f_{x}(x)dx}$ ， $f_{Y}(y) = F'_{Y}(y)$

7.重要公式與結論

(1) $X\sim N(0,1) \Rightarrow \varphi(0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}},\Phi(0) =\frac{1}{2}$ ， $\Phi( - a) = P(X \leq - a) = 1 - \Phi(a)$

(2) $X\sim N\left( \mu,\sigma^{2} \right) \Rightarrow \frac{X -\mu}{\sigma}\sim N\left( 0,1 \right),P(X \leq a) = \Phi(\frac{a -\mu}{\sigma})$

(3) $X\sim E(\lambda) \Rightarrow P(X > s + t|X > s) = P(X > t)$

(4) $X\sim G(p) \Rightarrow P(X = m + k|X > m) = P(X = k)$

(5) 離散型隨機變量的分佈函數爲階梯間斷函數；連續型隨機變量的分佈函數爲連續函數，但不必定爲到處可導函數。

(6) 存在既非離散也非連續型隨機變量。

多維隨機變量及其分佈

1.二維隨機變量及其聯合分佈

由兩個隨機變量構成的隨機向量，聯合分佈爲 $F(x,y) = P(X \leq x,Y \leq y)$

2.二維離散型隨機變量的分佈

(1) 聯合機率分佈律 $P\{ X = x_{i},Y = y_{j}\} = p_{{ij}};i,j =1,2,\cdots$

(2) 邊緣分佈律 $p_{i \cdot} = \sum_{j = 1}^{\infty}p_{{ij}},i =1,2,\cdots$

$p_{\cdot j} = \sum_{i}^{\infty}p_{{ij}},j = 1,2,\cdots$

(3) 條件分佈律 $P\{ X = x_{i}|Y = y_{j}\} = \frac{p_{{ij}}}{p_{\cdot j}}$ $P\{ Y = y_{j}|X = x_{i}\} = \frac{p_{{ij}}}{p_{i \cdot}}$

3. 二維連續性隨機變量的密度

(1) 聯合機率密度：

1) $f(x,y) \geq 0$

2) $\int_{- \infty}^{+ \infty}{\int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x,y)dxdy}} = 1$

(2) 分佈函數： $F(x,y) = \int_{- \infty}^{x}{\int_{- \infty}^{y}{f(u,v)dudv}}$

(3) 邊緣機率密度： $f_{X}\left( x \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f\left( x,y \right){dy}}$ $f_{Y}(y) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x,y)dx}$

(4) 條件機率密度： $f_{X|Y}\left( x \middle| y \right) = \frac{f\left( x,y \right)}{f_{Y}\left( y \right)}$ $f_{Y|X}(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_{X}(x)}$

4.常見二維隨機變量的聯合分佈

(1) 二維均勻分佈： $(x,y) \sim U(D)$ , $f(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{S(D)},(x,y) \in D \\ 0,其餘 \end{cases}$

(2) 二維正態分佈： $(X,Y)\sim N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},\rho)$ , $(X,Y)\sim N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},\rho)$

$f(x,y) = \frac{1}{2\pi\sigma_{1}\sigma_{2}\sqrt{1 - \rho^{2}}}.\exp\left\{ \frac{- 1}{2(1 - \rho^{2})}\lbrack\frac{{(x - \mu_{1})}^{2}}{\sigma_{1}^{2}} - 2\rho\frac{(x - \mu_{1})(y - \mu_{2})}{\sigma_{1}\sigma_{2}} + \frac{{(y - \mu_{2})}^{2}}{\sigma_{2}^{2}}\rbrack \right\}$

5.隨機變量的獨立性和相關性

和的相互獨立: $\Leftrightarrow F\left( x,y \right) = F_{X}\left( x \right)F_{Y}\left( y \right)$ :

$\Leftrightarrow p_{{ij}} = p_{i \cdot} \cdot p_{\cdot j}$ （離散型） $\Leftrightarrow f\left( x,y \right) = f_{X}\left( x \right)f_{Y}\left( y \right)$ （連續型）

和的相關性：

相關係數 $\rho_{{XY}} = 0$ 時，稱和不相關，
不然稱和相關

6.兩個隨機變量簡單函數的機率分佈

離散型： $P\left( X = x_{i},Y = y_{i} \right) = p_{{ij}},Z = g\left( X,Y \right)$ 則：

$P(Z = z_{k}) = P\left\{ g\left( X,Y \right) = z_{k} \right\} = \sum_{g\left( x_{i},y_{i} \right) = z_{k}}^{}{P\left( X = x_{i},Y = y_{j} \right)}$

連續型： $\left( X,Y \right) \sim f\left( x,y \right),Z = g\left( X,Y \right)$
則：

$F_{z}\left( z \right) = P\left\{ g\left( X,Y \right) \leq z \right\} = \iint_{g(x,y) \leq z}^{}{f(x,y)dxdy}$ , $f_{z}(z) = F'_{z}(z)$

7.重要公式與結論

(1) 邊緣密度公式： $f_{X}(x) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x,y)dy,}$ $f_{Y}(y) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x,y)dx}$

(2) $P\left\{ \left( X,Y \right) \in D \right\} = \iint_{D}^{}{f\left( x,y \right){dxdy}}$

(3) 若服從二維Y=y正態分佈 $N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},\rho)$
則有：

1) $X\sim N\left( \mu_{1},\sigma_{1}^{2} \right),Y\sim N(\mu_{2},\sigma_{2}^{2}).$

2) 與相互獨立 $\Leftrightarrow \rho = 0$ ，即與不相關。

3) $C_{1}X + C_{2}Y\sim N(C_{1}\mu_{1} + C_{2}\mu_{2},C_{1}^{2}\sigma_{1}^{2} + C_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} + 2C_{1}C_{2}\sigma_{1}\sigma_{2}\rho)$

4) ${\ X}$ 關於的條件分佈爲： $N(\mu_{1} + \rho\frac{\sigma_{1}}{\sigma_{2}}(y - \mu_{2}),\sigma_{1}^{2}(1 - \rho^{2}))$

5) 關於的條件分佈爲： $N(\mu_{2} + \rho\frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}}(x - \mu_{1}),\sigma_{2}^{2}(1 - \rho^{2}))$

(4) 若與獨立，且分別服從 $N(\mu_{1},\sigma_{1}^{2}),N(\mu_{1},\sigma_{2}^{2}),$
則： $\left( X,Y \right)\sim N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},0),$

$C_{1}X + C_{2}Y\tilde{\ }N(C_{1}\mu_{1} + C_{2}\mu_{2},C_{1}^{2}\sigma_{1}^{2} C_{2}^{2}\sigma_{2}^{2}).$

(5) 若與相互獨立， $f\left( x \right)$ 和 $g\left( x \right)$ 爲連續函數，則 $f\left( X \right)$ 和也相互獨立。

隨機變量的數字特徵

1.數學指望

離散型： $P\left\{ X = x_{i} \right\} = p_{i},E(X) = \sum_{i}^{}{x_{i}p_{i}}$ ；

連續型： $X\sim f(x),E(X) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{xf(x)dx}$

性質：

(1) $E(C) = C,E\lbrack E(X)\rbrack = E(X)$

(2) $E(C_{1}X + C_{2}Y) = C_{1}E(X) + C_{2}E(Y)$

(3) 若和獨立，則

(4) $\left\lbrack E(XY) \right\rbrack^{2} \leq E(X^{2})E(Y^{2})$

2.方差： $D(X) = E\left\lbrack X - E(X) \right\rbrack^{2} = E(X^{2}) - \left\lbrack E(X) \right\rbrack^{2}$

3.標準差： $\sqrt{D(X)}$ ，

4.離散型： $D(X) = \sum_{i}^{}{\left\lbrack x_{i} - E(X) \right\rbrack^{2}p_{i}}$

5.連續型： $D(X) = {\int_{- \infty}^{+ \infty}\left\lbrack x - E(X) \right\rbrack}^{2}f(x)dx$

性質：

(1) $\ D(C) = 0,D\lbrack E(X)\rbrack = 0,D\lbrack D(X)\rbrack = 0$

(2) 與相互獨立，則 $D(X \pm Y) = D(X) + D(Y)$

(3) $\ D\left( C_{1}X + C_{2} \right) = C_{1}^{2}D\left( X \right)$

(4) 通常有 $D(X \pm Y) = D(X) + D(Y) \pm 2Cov(X,Y) = D(X) + D(Y) \pm 2\rho\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}$

(5) $\ D\left( X \right) < E\left( X - C \right)^{2},C \neq E\left( X \right)$

(6) $\ D(X) = 0 \Leftrightarrow P\left\{ X = C \right\} = 1$

6.隨機變量函數的數學指望

(1) 對於函數

爲離散型： $P\{ X = x_{i}\} = p_{i},E(Y) = \sum_{i}^{}{g(x_{i})p_{i}}$ ；

爲連續型： $X\sim f(x),E(Y) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{g(x)f(x)dx}$

(2) ; $\left( X,Y \right)\sim P\{ X = x_{i},Y = y_{j}\} = p_{{ij}}$ ; $E(Z) = \sum_{i}^{}{\sum_{j}^{}{g(x_{i},y_{j})p_{{ij}}}},\left( X,Y \right)\sim f(x,y)$ ; $E(Z) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{\int_{- \infty}^{+ \infty}{g(x,y)f(x,y)dxdy}}$

7.協方差

$Cov(X,Y) = E\left\lbrack (X - E(X)(Y - E(Y)) \right\rbrack$

8.相關係數

$\rho_{{XY}} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$ ;
階中心矩 $E\left\{ {\lbrack X - E(X)\rbrack}^{k} \right\}$

性質：

(1) $\ Cov(X,Y) = Cov(Y,X)$

(2) $\ Cov(aX,bY) = abCov(Y,X)$

(3) $\ Cov(X_{1} + X_{2},Y) = Cov(X_{1},Y) + Cov(X_{2},Y)$

(4) $\ \left| \rho\left( X,Y \right) \right| \leq 1$

(5) $\ \rho\left( X,Y \right) = 1 \Leftrightarrow P\left( Y = aX + b \right) = 1$ ，其中

$\rho\left( X,Y \right) = - 1 \Leftrightarrow P\left( Y = aX + b \right) = 1$
，其中

9.重要公式與結論

(1) $\ D(X) = E(X^{2}) - E^{2}(X)$

(2) $\ Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$

(3) $\left| \rho\left( X,Y \right) \right| \leq 1,$ 且 $\rho\left( X,Y \right) = 1 \Leftrightarrow P\left( Y = aX + b \right) = 1$ ，其中

$\rho\left( X,Y \right) = - 1 \Leftrightarrow P\left( Y = aX + b \right) = 1$ ，其中

(4) 下面5個條件互爲充要條件：

$\rho(X,Y) = 0$ $\Leftrightarrow Cov(X,Y) = 0$ $\Leftrightarrow E(X,Y) = E(X)E(Y)$

$\Leftrightarrow D(X + Y) = D(X) + D(Y)\Leftrightarrow D(X - Y) = D(X) + D(Y)$

注：與獨立爲上述5個條件中任何一個成立的充分條件，但非必要條件。

數理統計的基本概念

1.基本概念

整體：研究對象的全體，它是一個隨機變量，用表示。

個體：組成整體的每一個基本元素。

簡單隨機樣本：來自整體的個相互獨立且與整體同分布的隨機變量 $X_{1},X_{2}\cdots,X_{n}$ ，稱爲容量爲的簡單隨機樣本，簡稱樣本。

統計量：設 $X_{1},X_{2}\cdots,X_{n},$ 是來自整體的一個樣本， $g(X_{1},X_{2}\cdots,X_{n})$ ）是樣本的連續函數，且中不含任何未知參數，則稱 $g(X_{1},X_{2}\cdots,X_{n})$ 爲統計量。

樣本均值： $\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$

樣本方差： $S^{2} = \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}{(X_{i} - \overline{X})}^{2}$

樣本矩：樣本階原點矩： $A_{k} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}^{k},k = 1,2,\cdots$

樣本階中心矩： $B_{k} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}{(X_{i} - \overline{X})}^{k},k = 1,2,\cdots$

2.分佈

$\chi^{2}$ 分佈： $\chi^{2} = X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \cdots + X_{n}^{2}\sim\chi^{2}(n)$ ，其中 $X_{1},X_{2}\cdots,X_{n},$ 相互獨立，且同服從

分佈： $T = \frac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim t(n)$ ，其中 $X\sim N\left( 0,1 \right),Y\sim\chi^{2}(n),$ 且，相互獨立。

分佈： $F = \frac{X/n_{1}}{Y/n_{2}}\sim F(n_{1},n_{2})$ ，其中 $X\sim\chi^{2}\left( n_{1} \right),Y\sim\chi^{2}(n_{2}),$ 且，相互獨立。

分位數：若 $P(X \leq x_{\alpha}) = \alpha,$ 則稱 $x_{\alpha}$ 爲的 $\alpha$ 分位數

3.正態整體的經常使用樣本分佈

(1) 設 $X_{1},X_{2}\cdots,X_{n}$ 爲來自正態整體 $N(\mu,\sigma^{2})$ 的樣本，

$\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i},S^{2} = \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}{{(X_{i} - \overline{X})}^{2},}$ 則：

1) $\overline{X}\sim N\left( \mu,\frac{\sigma^{2}}{n} \right){\ \ }$ 或者 $\frac{\overline{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1)$

2) $\frac{(n - 1)S^{2}}{\sigma^{2}} = \frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i = 1}^{n}{{(X_{i} - \overline{X})}^{2}\sim\chi^{2}(n - 1)}$

3) $\frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i = 1}^{n}{{(X_{i} - \mu)}^{2}\sim\chi^{2}(n)}$

4) ${\ \ }\frac{\overline{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n - 1)$

4.重要公式與結論

(1) 對於 $\chi^{2}\sim\chi^{2}(n)$ ，有 $E(\chi^{2}(n)) = n,D(\chi^{2}(n)) = 2n;$

(2) 對於 $T\sim t(n)$ ，有 $E(T) = 0,D(T) = \frac{n}{n - 2}(n > 2)$ ；

(3) 對於 $F\tilde{\ }F(m,n)$ ，有 $\frac{1}{F}\sim F(n,m),F_{a/2}(m,n) = \frac{1}{F_{1 - a/2}(n,m)};$

(4) 對於任意整體，有 $E(\overline{X}) = E(X),E(S^{2}) = D(X),D(\overline{X}) = \frac{D(X)}{n}$

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