[邏輯學]意外絞刑悖論(Hangman paradox)(又稱意外考試悖論)

絞刑

在審訊中一位囚徒被法官判處死刑。判決以下：「你下週將會被處決，但哪天處決對你來講是一個驚喜。」囚徒所以做出以下推理：「假如處決日是週日，那麼在週六夜晚降臨後，我將提早知道我週日會被處決，那樣的話處決就再也不是驚喜，因此週日我不會被處決。排除了週日以後，若是週五夜晚降臨後我還沒被處決，則我將提早知道我週六會被處決，因此我週六也不會被處決。以此類推。所以，處決是不會發生的。」

然而，這個囚徒的愉快心情保持到了星期二。他從好夢中醒來，被押往刑場——對他來講很是意外。

 

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 推廣1

假設教師愛麗絲只說過考試會在下週，但沒有說考試是驚喜。

午飯時她的學生瑞尼克路過教師辦公室，聽到老師對同事說，「下週我將給咱們班上的同窗考試，而考試日期對他們來講是一個驚喜」。老師並無意識到瑞尼克在聽她說話。根據關於考試日期的信息，瑞尼克能得出什麼結論？

 

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   推廣2

在推廣一的狀況下。事情變得更復雜了。由於午間休息以後，瑞尼克對老師說，「我聽到你說下週考試的日期是一個驚喜」。老師確認了這一點。然而那天晚些時候，老師在停車處再次遇到了辦公室的同事。老師告訴同事瑞尼克聽到了他們以前的對話，並說到：「可是考試日期還是驚喜！」很不幸，瑞尼克再次聽到了這句話。如今關於考試日期的信息，瑞尼克能得出什麼結論？

 

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我的想法

我的感受這個悖論與通常傳統的悖論不一樣，有一些摸棱兩可的文字遊戲。

從推廣一咱們能夠輕鬆得出結論，考試日期不會在週五（即最後一天，若是老師說的下週是工做日週一到週五的話）。

在推廣一下的信息鏈以下：

• 老師對班上同窗說：「下週將舉行考試」。宣佈了這個事實以後，班上全部同窗知道下週要考試，老師也知道班上同窗知道下週要考試。
• 老師對同事說：「考試日期是一個驚喜」。宣佈了這個事實以後，瑞尼克能夠推斷出考試不在週五，而老師不知道瑞尼克知道這個事實。
• 因爲沒有新的宣告出現，也沒有新的信息交流。雙方掌握的事實到這裏就結束了，瑞尼克只能知道考試不在週五。

在推廣二的信息鏈中，新增信息以下：

• 瑞尼克對老師說：「我聽到你說下週考試的日期是一個驚喜」。此時，老師知道了一個新的事實，即瑞尼克知道下週考試不是在週五。
• 老師對同事說：「可是考試日期還是驚喜」。同推廣一可知，瑞尼克能夠經過此宣告推斷出考試不在週四，而一樣的老師不知道瑞尼克得到了這個新的信息。
• 因爲沒有新的宣告出現，也沒有新的信息交流。雙方掌握的事實到這裏就結束了，瑞尼克只能知道考試不在週五和週四。

對比原版的題目，法官對囚徒直接做出宣佈：「下週你將被處死，而處死日期對你來講是一個驚喜。」

從囚徒的視角中，他得出以下信息鏈：

• 法官宣佈事實「囚徒下週會被處死」
• 法官宣佈事實「處死日期是驚喜」
• 囚徒做出推斷並得到新的事實「處死日期不會是下週最後一天即週日」
• 法官知道上述事實，即法官知道「囚徒知道處死日期不會是週日」
• 根據事實「處死日期是驚喜」
• 囚徒做出推斷並得到新的事實「處死日期不會是週六」
• 法官知道上述事實，即法官知道「囚徒知道處死日期不會是週日和週六」
• ......
• 囚徒做出推斷並得到新的事實「處死日期不會是下週的任何一天」
• 若該事實成立，則與最開始「囚徒下週會被處死」矛盾

在一般的理解中，上述藍色的信息，法官是確實知道的，由於「處死日期是驚喜」是法官當面告訴囚徒的。因此囚徒固然會認爲，全部的信息雙方都是互相知道的。這樣信息鏈才能成立。而關鍵就在於「處死日期」這四個字，當法官第一次宣佈「處死日期時驚喜」時，此時的處死日期可能存在與週一到週日七天中的一天，可是在根據事實做出正確推斷以後，處死日期只可能存在於週一到週六六天中的一天。第二行和第五行中的「處死日期」不是同一件事物，事物發生了改變，命題是否依然爲真也就隨即發生了改變。信息鏈就有可能不成立了。

有不少爲了解決該悖論的論文，但並無被徹底認同的解決方案，以上只是我的見解。