斯坦福算法設計和分析_3. 分治算法

​本文預計閱讀時間4分鐘，在讀的過程當中你須要帶着如下問題:

• 分治算法的基本步驟
• 逆序對計數是如何使用分治算法來解決問題的
• 爲何MergeSort排序法能夠天然的算出逆序對數目

分值策略通常步驟

1. 把輸入劃分紅更小的子問題。
2. 遞歸的治理子問題。
3. 把子問題的解決方案組合到一塊兒，造成原始問題的解決方案。

應用: 逆序對數目

輸入包含不一樣整數的數組A, 輸出A中逆序對的數量，逆序是指: 若是 i < j 而 A[i] > A[j]，那麼 (i, j) 就是一組逆序對。

好比輸入的數組是

其中i = 2對應A[2] =3 ，j=4對應A[4]=2，2<4, 可是A[2] > A[4]，因此這是一組逆序對。

協同篩選

爲何要對數組的逆序對計算？

一個緣由是想要計算一種數值類似度，該數值的類似度用於對兩個已排序列表之間的類似度進行量化。好比兩我的都看過10部電影，按照從最喜歡到最不喜歡的順序進行排列，那麼怎麼衡量兩我的的選擇是類似仍是不類似的呢？解決這個問題的一種量化方法就是經過包含10個元素的數組A，A1表示讀者的朋友從電影列表中選擇最喜歡的電影，a2表示他喜歡第二的電影，以此類推，a10表示他最不喜歡的電影，這樣若是讀者最喜歡的電影是星球大戰，而這部電影在讀者的列表中只顯示的第5位，那麼a1就等於5，若是兩我的的排序是相同的，這個數組就已經排序了，不存在逆序對，若是這個數組包含的逆序對越多，讀者和朋友之間對電影評價的分歧就越多，對電影的偏好就不一樣了。

對已排序列表進行類似性測量的另外一個緣由就是協同篩選，這是一種任意生成推薦方案的方法，網站就怎麼推出關於產品電影歌曲內容的建議呢？在協同篩選中，其思路就是尋找其餘與它類似偏好的用戶，而後推薦他們所喜歡的內容。所以協同篩選須要用戶「類似性」的定義，而計算逆序對就能夠捕捉問題的本質。

暴力解法

咱們首先想到的就是暴力窮舉搜索法，輸入一個數組A，裏面包含不一樣的整數，輸出的是它的逆序對個數，以上就是暴力解法的僞代碼。外層循環i表示從左到右的遍歷數組A中的元素，內層循環j是沒有與i對比過的元素，逆序了就累加。它的缺點是時間複雜度很高，O(n^2)。

分而治之思想

若是咱們用分治算法來算這個問題的話，第一個步驟就是把數組A劃分紅更小的子問題，咱們把A平均的劃分紅兩個部分，左邊和右邊，這樣數組規模就變小了，這樣劃分下就有三種狀況:

• 第1種就是逆序對 i 和 j 都位於數組的左半部分，就是下標 i 和 j 是小於等於n/2的
• 第2種狀況是逆序對 i 和 j 位於數組的右半部分
• 第3種狀況是逆序對 i 位於左半部分 j 位於右半部分，以上是僞代碼。

接下來咱們須要解決子問題，對於狀況1，2其實就是調用自身的遞歸，因此咱們只用實現第3鍾狀況CountSplitInv。

MergeSort思想

在CountInv的僞代碼中，須要實現CountSplitInv函數，咱們以前講的MergeSort排序算法自然的能夠計算逆序對數目，而它實現的思路又是兩個已排序的數組合併成一個新數組，上面的CountInv的狀況3實際就是i在左邊數組中，j在右邊數組中，而左右兩邊的數組沒有排序，因此咱們對他兩排一下序就能引用MergeSort算法。咱們稍微的修改一下上面的僞代碼，使得遞歸後除了返回逆序對數目，還要返回排序後的數組，下面是修改後的僞代碼。

那麼以上在處理逆序對 i, j 一個在左邊一個在右邊這種狀況的時候，就能夠用上以前的MergeSort算法，如今咱們來回顧一下。

以上是MergSort的僞代碼，它是輸入已排序的C和D，輸出是排序好的B。i，j分別控制C，D的元素，哪一個元素小就把它加入到B中。那麼，這裏的C就是原問題中的左半部，D就是原問題的右半部分，當C[i] > D[j] 的時候，說明產生了逆序對，而C又是排序後的，因此i以後的數字都是大於D[j]的，因此對於D[j]所帶來的逆序對數目就是C數組i到最後的元素個數，因此，咱們能夠在排序的基礎上計算出逆序對個數。把這一段話翻譯成僞代碼就是以下。

這樣就完成了分治算法對於逆序對的計算。時間複雜度是O(nlogn)，比暴力搜索快不少。文章開頭的問題你想通了嗎？