數據結構與算法(十一) B樹

B樹

是一種平衡的多路搜索樹，多用於文件系統、數據庫的實現

• 1個節點能夠存儲超過2個元素、能夠擁有超過2個子節點
• 擁有二叉搜索樹的一些特質（小的子節點在左面 大的子節點在右面）
• 平衡，每一個節點的全部子樹高度一致
• 比較矮

m階B樹性質

一個節點最多擁有m個子節點

• 假設一個節點存儲元素個數爲x
  • 根節點：
  • 非根節點：
  • 若是有子節點 子節點個數爲
• 若是有子節點
  • 根節點上的子節點：
  • 非跟節點上的子節點：

celing爲向上取整

• 若是要是m = 3
  • 他的子節點個數爲，所以可稱爲（2，3）樹、2-3樹。
• 若是要是m = 4
  • 他的子節點個數爲，所以可稱爲（2，4）樹、2-3-4樹。
• 若是要是m = 5
  • 他的子節點個數爲，所以可稱爲（3，5）樹、3-4-5樹。

B樹和二叉搜索樹的關係

• B樹其實適合二叉搜索樹是等價的
  • 只要把二叉搜索樹和部分子節點與父節點結合就生成了b樹
• 多代節點合併，能夠得到一個超級節點
  • 兩代合併最多有4個子節點
• m階B樹最多須要代合併

搜索

• 一、如今節點內部從小到大搜索元素
• 二、若是命中，搜索結束
• 三、若是未命中，再去對應的子節點去搜索元素，重複步驟1

添加

元素必然是添加到葉子節點中

上溢

• 假設3階B樹，當節點添加第三個數據的時候（最多添加兩個） 叫上溢

假設B樹的階級爲m， 上溢節點最中間的節點爲k

• 上溢的節點元素必然等於m

解決上溢

• 將k位置的元素向上與父節點合併
• 將[0,k - 1]和[k + 1,m - 1]位置的元素分裂成兩個子節點
  • 這兩個子節點的元素個數，必然都不會低於最低限制（ceiling(m/2) - 1）
• 一次分裂完畢後，可能致使父節點上溢，重複上述方法
  • 最極端的狀況是，一直上溢到根節點。

以4階B樹添加舉例

刪除

葉子節點

​ 直接刪除

非葉子節點

• 找到前驅或者後繼，覆蓋刪除所須要的元素的值。
• 在把前驅或者後繼刪掉。
• 非葉子節點的前驅或者後繼必然在葉子節點中

下溢

• 假設5階B樹，葉子節點最低個數爲ceiling(m/2) - 1 = 2個 當刪除後只剩下一個的時候 稱爲下溢

解決下溢：

• 下溢的元素必然是ceiling(m/2) - 1 個
• 若是下溢的節點的臨近兄弟節點至少有(ceiling(m/2))個元素，能夠向其借一個元素（最後一個元素）
  • 將父節點最後一個元素插入到下節點的最小位置
  • 將借來的元素插入到父節點最小位置
• 若是下溢的節點的臨近兄弟節點只有(ceiling(m/2)) - 1
  • 將父節點的中間元素挪下來與左右子節點進行合併
  • 合併後的節點元素等於ceil(m/2) + ceil(m/2) - 2; 不超過m - 1
    • 可能致使父節點下溢，下溢可能一直向上傳播。（若是根節點下溢 就和子節點合併）

以4階B樹刪除舉例

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